Conjuntos numéricos

objetivos: Utilizar y clasificar los distintos conjuntos numéricos en sus diversas formas de expresión. recordar la operatoria básica en los números naturales y enteros.

1. Números Naturales ( N ) 1.1 Consecutividad numérica Conjunto de la forma: IN = {1, 2, 3, 4, 5, …}, conjunto infinito. Todo número natural tiene un sucesor, y se obtiene sumando 1 al número, es decir: Sucesor Si n pertenece a IN, su sucesor será n + 1.

n - 1n + 1n Naturales Consecutivos Antecesor: Todo número natural (exceptuando el 1), tiene un antecesor, y se obtiene al restar 1 al número, es decir: Si n pertenece a IN, su antecesor será n - 1 antecesorsucesor

1.2 Paridad e imparidad Números Pares {2, 4, 6, 8, 10……, 2n} Son de la forma 2n, con n en los naturales. Sucesor par:Se obtiene sumando 2 al número. Si el número es 2n, entonces su sucesor es 2n+2. Antecesor par:Se obtiene restando 2 al número. Si el número es 2n, entonces su antecesor es 2n-2. 2n - 22n + 22n Antecesor parSucesor par

Se obtiene sumando 2 al número. Si el número es 2n-1, entonces su sucesor es 2n+1. Números Impares {1, 3, 5, 7, 9……,2n-1} Son de la forma 2n-1, con n en los naturales. Sucesor impar: Antecesor impar: 2n - 32n + 12n -1 Antecesor imparSucesor impar Se obtiene restando 2 al número. Si el número es 2n-1, entonces su antecesor es 2n-3.

1.3 Números Primos Son aquellos números que son sólo divisibles por 1 y por sí mismos: { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29…} Nota: E l 1 no es primo. 1.4 Múltiplos y Divisores Múltiplos Se llama “múltiplo” de un número, aquel que se obtiene al multiplicar dicho número por otro cualquiera. Por ejemplo: 5, 10, 15, 20 son múltiplos de 5.

Divisores Se llama “divisor” de un número, aquel valor que lo divide exactamente. (Está contenido en él, una cantidad exacta de veces) Por ejemplo: Los divisores de 24 son los números que lo dividen exactamente: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24} Nota: El 5 no es divisor de 24, ya que al dividir 24 por 5 resulta 4,8.

Mínimo Común Múltiplo El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números, corresponde al menor de los múltiplos que tienen en común. Ejemplo: -Algunos múltiplos de 3 son: {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36,…, 60} -Algunos múltiplos de 6 son: {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48…, 60} -Algunos múltiplos de 15 son: {15, 30, 45, 60, 75,…}

m.c.m. = 3 ∙ 2 ∙ 5 =30 El m.c.m. entre 3, 6 y 15 es 30. (Dentro de los múltiplos que tienen en común, 30 es el menor). El m.c.m. entre 3, 6 y 15 se puede obtener a través del siguiente método: Se divide por números primos hasta que en cada columna quede 1, y el producto de ellos corresponde al m.c.m.

Máximo Común Divisor El máximo común divisor (M.C.D.) de dos o más números, corresponde al mayor número que los divide simultáneamente. Ejemplo: -Los divisores de 36 son: {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} -Los divisores de 18 son: {1, 2, 3, 6, 9, 18} -Los divisores de 24 son: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

El M.C.D. entre 36, 18 y 24 es 6. (Dentro de los divisores que tienen en común, 6 es el mayor). El M.C.D. entre 36, 18 y 24 se puede obtener a través del siguiente método: Se divide por números primos que sean divisores de cada número, hasta que ya no se pueda dividir a todos en forma simultánea. M.C.D. = 2 ∙ 3 = 6

1.6 Operaciones en IN Adición, sustracción, multiplicación y división. Propiedades de la Adición: a) Clausura: b)Conmutativa: Si a y b son números naturales, entonces se cumple que: La suma de dos números naturales es siempre un natural. Por ejemplo: = a + b = b + a

c) Asociativa: Si a, b y c son números naturales, entonces se cumple que: a + (b+c) = (a+b) + c Ejemplo: 13 + (5+9) = (13+5) (14) =(18) = 27 Nota: En los naturales no existe neutro aditivo. Propiedades de la Multiplicación: a)Clausura: El producto de dos números naturales es siempre un natural.

4 ∙ (15) = (20) ∙ 3 Si a y b son números naturales, entonces se cumple que: Por ejemplo: 4 ∙ (5 ∙ 3) = (4 ∙ 5) ∙ 3 Por ejemplo: 34∙5 = 5∙34 a (b ∙ c) = (a ∙ b) c b)Conmutativa: c) Asociativa: Si a, b y c son números naturales, entonces se cumple que: Nota: El elemento neutro de la multiplicación es el 1. a∙b = b∙a 170 = = 60

2. Números Cardinales ( N 0 ) Conjunto de la forma: IN 0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}, conjunto infinito. 2.1 Operaciones en IN 0 Adición, sustracción, multiplicación y división Si a es un número cardinal, entonces: En este conjunto se cumplen las mismas propiedades que en los naturales. La diferencia es que incluye al cero, y por tal razón posee “elemento neutro aditivo”. a + 0 = 0 + a = a

3. Números Enteros (Z) Conjunto de la forma: Z = {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}, infinito. Se puede representar como: Z = Z - U IN 0 Z = Z - U {0} U Z + Recta numérica: Z-Z- Z+Z

Valor absoluto: El valor absoluto de un número representa la distancia del punto al origen (cero de la recta numérica). Por ejemplo, la distancia del 5 al origen es cinco unidades, igual que la distancia del -5 al origen. La notación es: |5| = 5 y |-5| = unidades Luego, |-20| = 20|34| = 34|-12| = 12…

3.1 Operaciones en Z Al realizar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones en los enteros, debemos considerar algunas reglas con respecto a los signos: Si a y b son números enteros entonces,se cumple que: a) a + -b = a – b Ejemplo: = 5 – 9 = -4 Ejemplo: b) a – (-b) = a + b 12 – (-8) = = 20

c) Al sumar enteros de igual signo, éste se mantiene. Ejemplo: = +33 d) Al sumar enteros de distinto signo, se calcula la diferencia entre sus valores absolutos, conservando el signo del mayor. Ejemplo: = = = -14

-42 ∙ -8 = e) Si a y b son dos números enteros de igual signo (positivos o negativos), entonces: - El producto y el cuociente entre ellos es positivo. f) Si a y b son dos números enteros de distinto signo, entonces: - El producto y el cuociente entre ellos es negativo. Ejemplo: 28 : 7 = : -5 = ∙ -5 = -185

3.2 Propiedades La suma de números enteros cumple con la propiedad Conmutativa y Asociativa. Ejemplo: (-3) + 2 = 2 + (-3) -1 = -1 La suma en los números enteros tiene “elemento neutro”: el cero. Ejemplo: (-8)+ 0 = -8

3.3 Prioridad en las operaciones Tanto en los números naturales como en los enteros, hay operaciones que tienen prioridad sobre otras. Existe un orden para resolver ejercicios como: : = ? ¿Qué se resuelve primero? El orden para ejecutar las operaciones que involucran paréntesis y operaciones combinadas es: 1° Paréntesis 2° Potencias 4° Adiciones y sustracciones 3° Multiplicación y/o división (de izquierda a derecha)

Resolver : : 3 - 3= – 3 = 0 – 3 = – 3

4.Números Racionales ( Q ) Es el conjunto de todos aquellos números que se pueden escribir como fracción, es decir: a b / a y b son enteros, y b es distinto de cero Q = Ejemplos: 2; 17; 0; -6; -45; -2; 7 0,489;2,18;-0,647 -1;-1; 8 14 ; 3 15, 0 NO es racional a: numerador y b: denominador

Por ejemplo: 3 es Natural (3 IN ), 3 es Cardinal (3 IN 0 ), y como 3 =, 3 es racional (3 Q ). 3 1 IN IN 0 Z Q Todo número entero es racional.

Diagrama representativo:

4.1 Propiedades de los racionales Amplificar y simplificar fracciones Ejemplo: 2∙2∙ 3∙3∙ Amplificar una fracción, significa multiplicar, tanto el numerador como denominador por un mismo número. 6 6 Al amplificar la fracción por 6 resulta: 2 3 = 12 18

Ejemplo: Simplificar una fracción, significa dividir, tanto el numerador como denominador por un mismo número. 3 3 = 9 15 Al simplificar la fracción por 3 resulta: : 45 : Inverso multiplicativo o recíproco de una fracción El inverso multiplicativo, o recíproco de 2 9 es: 9 2 Ejemplo:

4.2 Operatoria en los racionales Suma y resta Ejemplos: 1. Si los denominadores son iguales: = Si uno de los denominadores es múltiplo del otro: = 2∙3 + 7∙1 45 = = = y

3. Si los denominadores son primos entre sí: = 5∙3 + 7∙ == Aplicando mínimo común múltiplo (m.c.m.): = 4∙8 + 5∙ == 67 40

-4 5 ∙ 8 7 = = Multiplicación: Ejemplo: = ∙ = División: Ejemplo: -4 5 : 7 8 = Número Mixto: Ejemplo: = 8∙ = 43 5

4.3 Transformación de números racionales De fracción a decimal: Ejemplo: Se divide numerador por denominador. 7 4 = 1,75 De decimal finito a fracción: Ejemplo: El numerador corresponde al número sin coma, y el denominador es una potencia de 10 que depende del número de decimales que tenga el número = 1,75 = ∙7 25∙4 =

De un número decimal periódico a fracción: 1.El numerador de la fracción es la diferencia entre el número decimal completo, sin la coma, y la parte entera. 2.El denominador está formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período. Ejemplo 1: 2,35 = 235 – 2 = Ejemplo 2: 0,376 = 376 – 0 =

3,21 = = De un número decimal semi periódico a fracción: 1.El numerador de la fracción corresponde a la diferencia entre el número decimal completo, sin la coma; y la parte entera incluyendo las cifras del ante período. 2.El denominador queda formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período, y seguido de tantos ceros (0), como cifras tenga el ante período. Nota : Se llama “ante período” a los números que hay entre la coma, y el período. Ejemplo:

4.4 Comparación de fracciones Multiplicación cruzada: Ejemplo: Al comparar(Multiplicando cruzado) y 13 ∙ 10 y 15 ∙ y 135 Como 130 < 135, entonces: <

Igualar denominadores: Ejemplo: Al comparar y (Igualando denominadores) 13∙4 15∙4 7∙5 12∙5 y y Como 52 > 35, entonces >

Transformar a decimal: Ejemplo: Al comparar(Transformando a decimal)y =0, … 7 12 =0, … > Como 0,86 > 0,583, entonces

Ejemplo: En la secuencia: 6, 5 16, 5 26, 5 36,... 5 ¿Qué número tendríamos que sumar a para obtener el 7° término ? 1, 5 De acuerdo a las características de la secuencia, el 7° término es Tendríamos que sumar a para obtener el 7° término , 5 65 = 13 5 Es decir: Respuesta: 4.5 Secuencia Numérica

Observación: La secuencia anterior también se puede analizar de la siguiente manera: 1 + 1, , , , … 5..., 1°2°3°4°..., 7°… Lo que nos permitiría saber, por ejemplo, ¿cuál es el valor del n-ésimo término de la secuencia? Respuesta: Es, más un número impar, lo que se expresa como: (2n - 1) 5 (Con n = posición del término)

Son aquellos que NO se pueden escribir como una fracción (decimales infinitos NO periódicos). 5. Números Irracionales ( Q* ) Q* = Q U

6. Números Reales ( IR ) Es el conjunto formado por la unión entre los números racionales y los números irracionales. IR = Q U Q* Ejemplos: Diagrama representativo: 3,-89,-2; 7 2,18; 23,491002