TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS

En una transformación isométrica: 1) No se altera la forma ni el tamaño de la figura. 2) Sólo cambia la posición (orientación o sentido de ésta).

Tipos de transformaciones isométricas Axial Central Simetrías o reflexiones Traslaciones Rotaciones o giros

Simetrías o reflexiones Se puede considerar una simetría como aquel movimiento que aplicado a una figura geométrica, produce el efecto de un espejo.

Tipos de simetrías Axial (reflexión respecto de un eje) Central (reflexión respecto de un punto) O

Cada punto y su imagen o simétrico equidistan del eje de simetría. En una simetría axial: Cada punto y su imagen o simétrico equidistan del eje de simetría. El trazo que une un punto con su simétrico es perpendicular al eje de simetría. A A’

En una simetría central: El centro de rotación es el punto medio del trazo que une un punto con su simétrico. Una simetría central equivale a una rotación en torno al centro de simetría en un ángulo de 180º. A O A’

Simetrías en un sistema de ejes coordenados En torno al eje X P  El simétrico de P(a,b) es P’(a,-b)  P’ En torno al eje Y El simétrico de P(a,b) es P’(-a,b) P’ P   En torno al origen P  El simétrico de P(a,b) es P’(-a,-b)  P’

RESOLVAMOS: ¿ Cuántos ejes de simetría tiene un triángulo equilátero? ¿ Cuántos ejes de simetría tiene un triángulo isósceles? ¿ Cuántos ejes de simetría tiene un triángulo escaleno? ¿ Cuántos ejes de simetría tiene un cuadrado? ¿ Cuántos ejes de simetría tiene un trapecio? ¿ Cuántos ejes de simetría tiene un pentágono regular? ¿ Cuántos ejes de simetría tiene un círculo?

Traslaciones Se puede considerar una traslación como el movimiento que se hace al deslizar una figura, en línea recta, manteniendo su forma y tamaño.

En una traslación: Al deslizar la figura todos los puntos describen líneas rectas paralelas entre sí.

En una traslación se distinguen tres elementos: Dirección (horizontal, vertical u oblicua). Sentido (derecha, izquierda, arriba, abajo). Magnitud del desplazamiento (distancia entre la posición inicial y final de cualquier punto)

Traslaciones en un sistema de ejes coordenados En este caso se debe señalar las coordenadas del vector de traslación. Estas son un par ordenado de números (x,y), donde x representa el desplazamiento horizontal e y representa el desplazamiento vertical.

En el par ordenado la primera componente recibe el nombre de abscisa y la segunda componente el nombre de ordenada.

Traslaciones de puntos en el sistema cartesiano. Traslación de A(4,6) a través del vector v(-2,-3) B’(-1,6) A(4,6)   Traslación de B(-5,2) a través del vector v(4,4)  A’ (2,3)  B(-5,2) Traslación de C(-4,-2) a través del vector v(7,1) C’(3,-1)   C(-4,-2)

En la abscisa: En la ordenada: (+ , +) (+ , -) (- , +) (- , -) En la abscisa: Signo positivo: desplazamiento hacia la derecha. Signo negativo: desplazamiento hacia la izquierda. En la ordenada: Signo positivo: desplazamiento hacia arriba. Signo negativo: desplazamiento hacia abajo.

Rotaciones o giros. Una rotación es el movimiento que se efectúa al girar una figura en torno a un punto. Este movimiento mantiene la forma y el tamaño de la figura.

En una rotación se identifican tres elementos: El punto de rotación (centro de rotación), punto en torno al cual se efectúa la rotación. La magnitud de rotación, que corresponde al ángulo, éste está determinado por un punto cualquiera de la figura, el centro de rotación (vértice del ángulo) y el punto correspondiente de la figura obtenida después de la rotación. El sentido de giro, positivo (antihorario), negativo (horario) N M M’ . N’ O

Rotación en 90º en torno al origen: x x’ A’ y’ A y A y x x’ y’ A’ Entonces: x’ = -y y’ = x Luego: A(x,y) => A’(-y,x)

Rotación en 180º en torno al origen: y y x’ x’ x x y’ y’ A’ A’ Entonces: x’ = -x y’ = -y Luego: A(x,y) => A’(-x,-y)

Rotación en torno al origen: 90º 180º 270º 360º (x, y) (-y, x) (-x, -y) (y, -x) (2, 5) (-5, 2) (-2, -5) (5, -2) (-1, 4)

Importante Como toda transformación isométrica, mantiene la forma y tamaño de una figura geométrica, por lo tanto el perímetro y el área no sufren variación.

TESELACIONES Teselar o Embaldosar una superficie es cubrirla completamente con baldosas sin dejar espacio entre ellas.

Condición al Teselar Los ángulos que convergen en cada vértice suman 360º Sólo hay tres polígonos regulares con los que podemos teselar el plano Euclidiano: triángulos, cuadrados y hexágonos.

MAURITS CORNELIUS ESCHER Escher nació un 17 de Junio de 1898 en Leeuwarden (Holanda). Comenzó los estudios de Arquitectura, pero una vez allí, Escher se dió cuenta de que su auténtica pasión eran las artes gráficas.

La Alhambra de Granada (España), visitada por Escher en incontables ocasiones, fue el edificio que impresionó de forma definitiva a nuestro personaje gracias a las recargadas ornamentaciones de sus muros, las cuales se repartían el espacio disponible de forma esquemática y perfecta. Esta cautivación le influyó en sus creaciones posteriores a 1937, en las que muestran una división regular del plano y sus famosos patrones de repetición.

CABEZAS

CIELO E INFIERNO

REPTILES

Su visión única del espacio y de las matemáticas le permitieron dibujar una numerosa colección de fantásticos dibujos hasta su muerte en 1972.

TU PROPIA TESELACIÓN:

FIN