PROFESORAS: ISABEL LÓPEZ C. LORENA SALINAS LORENA SALINAS PÍA AZOCAR PÍA AZOCAR.

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1 PROFESORAS: ISABEL LÓPEZ C. LORENA SALINAS LORENA SALINAS PÍA AZOCAR PÍA AZOCAR

2 El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados. Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las ‘X’ y uno de las ‘Y’, respectivamente, esto indica que un punto se puede ubicar en el plano cartesiano con base en sus coordenadas, lo cual se representa como: P (x, y) PROFESORA ISABEL NOELIA LÓPEZ CASTILLO alexnoe@hotmail.com

3 En síntesis e En síntesis el plano cartesiano está formado por: - El eje x que tiene una orientación de izquierda a derecha (horizontal). - El eje y que tiene una orientación de abajo a arriba (vertical). PROFESORA ISABEL NOELIA LÓPEZ CASTILLO alexnoe@hotmail.com

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5 En ambos ejes se pueden representar los números enteros y se cruzan en el cero. (origen) PROFESORA ISABEL NOELIA LÓPEZ CASTILLO alexnoe@hotmail.com

6 Localizar el punto A (-4, 5) y el punto B(3, 4) en el plano cartesiano. Ejemplos: Localizar el punto A (-4, 5) y el punto B(3, 4) en el plano cartesiano. Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento: ¿Las coordenadas del punto C son? PROFESORA ISABEL NOELIA LÓPEZ CASTILLO alexnoe@hotmail.com

7 AHORA TE INVITO A REALIZAR LA ACTIVIDAD 1 DE LA GUÍA RECUERDA HACER UN TRABAJO LIMPIO Y ORDENADO.

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9 Comúnmente utilizamos la palabra transformación para referirnos a algún cambio, ya sea en el tamaño, en la forma o en la posición de un objeto o un cuerpo. En matemática, hablamos de una transformación cuando un conjunto de puntos se ha movido siguiendo una regla o condición dada. PROFESORA ISABEL NOELIA LÓPEZ CASTILLO alexnoe@hotmail.com

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13 Una traslación es una transformación isométrica que desplaza todos los puntos de una figura inicial, de forma paralela a una misma magnitud, dirección y sentido, resultando una figura llamada imagen. Pero antes aprenderemos a realizar la construcción geométrica de una recta paralela a otra recta cualquiera. PROFESORA ISABEL NOELIA LÓPEZ CASTILLO alexnoe@hotmail.com Fíjate que cualquiera de las tres letras, que unen D y D’, E y E’, F y F’, permiten describir la traslación DEF, es decir, conociendo una de estas “flechas” sería posible realizar la traslación de los demás puntos del triángulo. A cualquiera de estas flechas se le denomina vector de traslación, los cuales tienen magnitud, dirección y sentido.

14 En una traslación: Al deslizar la figura todos los puntos describen líneas rectas paralelas entre sí. PROFESORA ISABEL NOELIA LÓPEZ CASTILLO alexnoe@hotmail.com

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16 VECTORES Un vector es un segmento de recta orientado (flecha), caracterizado por: Módulo (MAGNITUD): es la longitud del segmento Dirección: está dada por la recta por la cual transita el vector Sentido: uno de los dos sentidos dados por la recta que pasa por él (indicado por la flecha) PROFESORA ISABEL NOELIA LÓPEZ CASTILLO alexnoe@hotmail.com

17 En una traslación En una traslación se distinguen tres elementos: Dirección Dirección (horizontal, vertical u oblicua). Sentido Sentido (derecha, izquierda, arriba, abajo). Magnitud del desplazamiento Magnitud del desplazamiento (distancia entre la posición inicial y final de cualquier punto).

18 Coordenadas cartesianas del trasladado de un punto. En este caso se deben señalar las coordenadas del vector de traslación. Estas son un par ordenado de números (x,y), donde x representa el desplazamiento horizontal e y el desplazamiento vertical. En el par ordenado la primera componente recibe el nombre de abscisa abscisa y la segunda componente el nombre de ordenada ordenada.

19 1 2 3 3 1 2 4 y x 4 5 -3 -2 -4 -5 P P´ La aplicación T(a, b) se denomina “VECTOR TRASLACIÓN” PROFESORA ISABEL NOELIA LÓPEZ CASTILLO alexnoe@hotmail.com EJEMPLO DE Traslación Ejemplo 1: P(2, 1) T(, ) P´(2 + 3, 1 + -5) P´(5, -4) EN LA ABSCISA: Signo positivo: desplazamiento hacia la derecha. Signo negativo: desplazamiento hacia la izquierda. EN LA ORDENADA: Signo positivo: desplazamiento hacia arriba. Signo negativo: desplazamiento hacia abajo. EN LA ABSCISA: Signo positivo: desplazamiento hacia la derecha. Signo negativo: desplazamiento hacia la izquierda. EN LA ORDENADA: Signo positivo: desplazamiento hacia arriba. Signo negativo: desplazamiento hacia abajo.

20 A(4,6)  A’ (2,3) A(4,6) Traslación de A(4,6) a través del vector v(-2,-3) B(-5,2) Traslación de B(-5,2) a través del vector v(4,4)  B(-5,2)  B’(-1,6) C(-4,-2) Traslación de C(-4,-2) a través del vector v(7,1)  C(-4,-2)  C’(3,-1) -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 654321654321 -2 -3 -4 -5 -6

21 Gráficamente, el triángulo se traslada 4 unidades hacia la izquierda y 2 unidades hacia arriba. 1 2 3 4 234-2-3 1 5 PROFESORA ISABEL NOELIA LÓPEZ CASTILLO alexnoe@hotmail.com Ejemplo 2: El triángulo PQR, de vértices P(1,2), Q(3,1) y R(4,3) se “traslada” al aplicar el vector traslación v(-4,2), y las coordenadas de sus nuevos vértices son: P´, Q´ y R´.

22 Realizar la traslación de un triángulo a otro lugar del plano tomando como guía un vector V(10,7) Ubica los siguientes puntos del triángulo ABC: A(-6,-2), B(-9,-6) y C(-2,-5) que serán los vértices del triángulo PROFESORA ISABEL NOELIA LÓPEZ CASTILLO alexnoe@hotmail.com A(-6,-2)………A’(-6+10,-2+7)=A’(4,5) B(-9,-6)………B’(-9+10,-6+7)=B’(1,1) C(-2,-5)………C’(-2+10,-5+7)=C’(8,2) Ejemplo 3:

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26 Reflexiones de figuras planas Simetría o Reflexión Se puede considerar una simetría como aquel movimiento que aplicado a una figura geométrica, produce el efecto de un espejo (refleja la figura).

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28 reflexión Una reflexión es una transformación isométrica en la cual a cada punto de una figura se le asocia otro punto, llamado imagen, de modo que: El punto y su imagen están a igual distancia del eje de simetría. El segmento que une el punto con su imagen es perpendicular al eje de simetría. DEFINICIÓN DE REFLEXIÓN EJE DE SIMETRÍA reflexión. Cuando esto ocurre, la transformación isométrica aplicada se llama reflexión. Al unir cada par de puntos correspondientes, podrás verificar que la recta L es perpendicular a estos trazos. Además, los vértices correspondientes se ubican a igual distancia de la recta L

29 La simetría axial se puede dar también en un objeto con respecto de uno o mas ejes de simetría. Si se doblara la figura sobre el eje de simetría trazado, se podría observar con toda claridad que los puntos de las partes opuestas coinciden, es decir, ambas partes son congruentes. Simetría Axial Miriam Vega 29 SIMETRÍA AXIAL

30 Buscar los Ejes de Simetría

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34 Tipos de Simetrías: Simetría Axial: Reflexión respecto de un eje. Simetría Central: Reflexión respecto de un punto.

35 REFLEXIÓN EN EL PLANO CARTESIANO A B C A’ B’ C’ En general en torno al eje Y El simétrico de P(a,b) es P’(-a,b)  PP’

36 EJERCICIO : EN TORNO AL EJE Y A(-7,1); B(-4,3); C(-2,3); D(-5,7); E(-7,4)

37 REFLEXIÓN EN EL PLANO CARTESIANO A B C A’ B’ C’ En torno al eje X El simétrico de P(a,b) es P’(a,-b) P P’  

38 EN TORNO AL EJE X A(-6,4); B(1,5); C(4,10); D(-2,7); E(-4,8)

39 REFLEXIÓN EN EL PLANO CARTESIANO A B C A’ B’B’ C’C’ En torno al origen El simétrico de P(a,b) es P’(-a,-b)  P  P’

40 EN TORNO AL ORIGEN (0,0) A(-4,1); B(-7,3); C(-4,3); D(-4,6); E(-2,3)

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42 O La Simetría central corresponde a una transformación isométrica de modo que el “simétrico” de un punto A, con respecto a un punto O, es A`, donde OA = OA` y A`pertenece a la recta AO. 1 2 3 4 234-2-3 1 5 Ejemplo: A A´ B B´ C C´ OA = OA´ OC = OC´ OB = OB´

43 1º Una simetría (reflexión) respecto de un punto O equivale a una rotación en 180º de centro O. 2º Los trazos de la figura original son paralelos con los trazos homólogos de la figura transformada. 3º El sentido de la figura no cambia respecto al giro de las manecillas del reloj. 4º Todo punto del plano cartesiano A(x, y) tiene su simétrico A’(-x, -y) con respecto al origen O(0, 0).

44 < Rotación La rotación es positiva si es en sentido contrario a los punteros del reloj. 0 0: centro de rotación Una rotación es el movimiento que se efectúa al girar una figura en torno a un punto. Este movimiento mantiene la forma y el tamaño de la figura. Una rotación es una transformación isométrica, en la cual todos los puntos se mueven respecto a un punto fijo llamado centro de rotación, en un determinado ángulo, llamado ángulo de rotación.

45 En una rotación se identifican tres elementos: El punto de rotación (centro de rotación), punto en torno al cual se efectúa la rotación. La magnitud de rotación, que corresponde al ángulo, éste está determinado por un punto cualquiera de la figura, el centro de rotación (vértice del ángulo) y el punto correspondiente de la figura obtenida después de la rotación. El sentido de giro, positivo (antihorario), negativo (horario)

46 Es decir: las rotaciones, son aquellas isometrías que permiten girar todos los puntos del plano. En una rotación se identifican 3 elementos: 1. Centro de rotación 2. Ángulo de rotación 3. Sentido de giro: a) horario b) antihorario

47 90°180°270°360° A(x,y) Punto Ángulo Rotación en el plano cartesiano: Si el punto A (x,y) gira con respecto al origen en 90°, 180°, 270° ó en 360°; se transforma en otro punto, cuyas coordenadas se indican en la siguiente tabla: (-y,x)(-x,-y)(y,-x) (x,y) Ejemplo 1: 90°180°270°360° A(5,-8) Punto Ángulo (8,5)(-5,8)(-8,-5) (5,-8) En la rotación negativa, 90º equivale a 270º.

48 A 1 2 3 4 234-2-3 1 5 Ejemplo 2: Si el punto A (2,3) gira con respecto al origen en 90°, se transforma en el punto A´(-3,2). A´

49 Dada la siguiente figura efectuar una rotación de 90°, 180° y 270° en sentido antihorario respecto del origen. rojo la rotación de 90amarillo la de 180° y azul la de 270° Pinta de color rojo la rotación de 90°, amarillo la de 180° y azul la de 270° (-1,4) (-7,6) (-5,1) (-4,4) (1,-4) (7,-6) (5,-1) (4,-4)

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