Ing. Alfonso Álvarez Grayeb Tutorial de Álgebra básica Coordinación de Ciencias Básicas Ing. Alfonso Álvarez Grayeb Instrucciones de navegación (hacer clic en este botón)

Instrucciones de navegación Para ir de una diapositiva a cualquier otra, hay botones que se encargan de esa función. Son los siguientes: Avanzar a la diapositiva siguiente Regresar a la diapositiva anterior Ir a Menú principal Regresar al Menú general de temas Ir a algún Tema “Saltar” directamente al tema específico

Para salir del tutorial pulsa la tecla ESC Ir a Núm. Reales y sus Propiedades Ir a Valor Absoluto Ir a Exponentes Ir a Radicales Menú General de temas Ir a Factorización Ir a Operaciones algebraicas Ir a Fracciones algebraicas Instrucciones de navegación Ir a Despeje de variables Para salir del tutorial pulsa la tecla ESC

Los números Reales R Ir a Clasificación de los Reales Ir a propiedad Conmutativa Los números Reales R Clasificación y propiedades Ir a propiedad Asociativa Ir a propiedad Distributiva Ir a Otras Propiedades de Reales Ir a propiedades de Fracciones Ir a Menú principal Ir a Menú principal Ir a Menú principal

Los números Naturales sirven para contar objetos (son los enteros positivos) Naturales N 1 45 7 3 47 31 17 Ir a Menú principal

Los Enteros Z incluyen además de los naturales, al cero y a los negativos 0 7 Enteros Z -2 14 Naturales N 1 45 7 3 47 31 17 23 5 -11 Ir a Menú principal

Racionales Q Enteros Z Naturales N -0.33 7 -Los Racionales Q se forman con el cociente de dos enteros. -Tienen un número finito de cifras decimales. -O bien, sus cifras decimales son periódicas. -Los Q incluyen a los Z y a los N Racionales Q -6 3.14 0.125407 2/3 0.25 0 7 Enteros Z -2 14 Naturales N 1 45 7 3 47 31 17 23 23/105 5 -11 Ir a Menú principal

Racionales Q Enteros Z Irracionales Q’ Naturales N -Los Irracionales Q’ se caracterizan porque: –No pueden expresarse como el cociente de enteros. -Sus cifras decimales son infinitas y no-periódicas -0.33 7 Racionales Q -6 3.14 0.125407 2/3 0.25 0 7 Enteros Z -2 14 Irracionales Q’ Naturales N 1 45 7 3 47 31 17 23 23/105 5 -11 Ir a Menú principal

Los números Reales son los Racionales Q y los Irracionales Q’ -0.33 7 Los números Reales son los Racionales Q y los Irracionales Q’ Racionales Q -6 3.14 0.125407 2/3 0.25 0 7 Enteros Z -2 14 Irracionales Q’ Naturales N 1 45 7 3 47 31 17 23 23/105 5 -11 Ir a N. Reales Ir a Menú principal

Propiedad Conmutativa de suma y producto Conmutar es intercambiar de lugar (esto sólo es válido para la suma y el producto) Ir a Menú principal

Propiedad Conmutativa de suma y producto Ejemplo: escribir la siguiente expresión de otra manera, aplicando la ley conmutativa: Ir a Menú principal

Propiedad Conmutativa de suma y producto Ejemplo: escribir la siguiente expresión de otra manera, aplicando la ley conmutativa: Aplicando la ley conmutativa del producto, tenemos: Ir a Menú principal

Propiedad Conmutativa de suma y producto Ejemplo: escribir la siguiente expresión de otra manera, aplicando la ley conmutativa: Aplicando la ley conmutativa del producto, tenemos: Y aplicándola a la suma del paréntesis, obtenemos finalmente: Ir a N. Reales Ir a Menú principal

Propiedad Asociativa de suma y producto Asociar es agrupar de cierta manera Ir a Menú principal

Propiedad Asociativa de suma y producto Ejemplo: escribe expresiones equivalentes a la siguiente, aplicando la propiedad asociativa además de la conmutativa: Ir a Menú principal

Propiedad Asociativa de suma y producto Ejemplo: escribe expresiones equivalentes a la siguiente, aplicando la propiedad asociativa además de la conmutativa: Asociando o agrupando los términos de otra forma, tenemos: Ir a Menú principal

Propiedad Asociativa de suma y producto Ejemplo: escribe expresiones equivalentes a la siguiente, aplicando la propiedad asociativa además de la conmutativa: Asociando (o agrupando) los términos de otra forma, tenemos: Sumando los términos semejantes (los que tienen la misma parte variable), obtenemos finalmente: Fin de este ejemplo Ir a N. Reales Ir a Menú principal

Propiedad Distributiva de suma y producto Ejemplo: usa la propiedad distributiva para simplificar la expresión: Ir a Menú principal

Propiedad Distributiva de suma y producto Ejemplo: usa la propiedad distributiva para simplificar la expresión: Aplicando la propiedad distributiva en las dos partes de la expresión, tenemos: Ir a Menú principal

Propiedad Distributiva de suma y producto Ejemplo: usa la propiedad distributiva para simplificar la expresión: Aplicando la propiedad distributiva en las dos partes de la expresión, tenemos: Que es equivalente a: Ir a Menú principal

Propiedad Distributiva de suma y producto Ejemplo: usa la propiedad distributiva para simplificar la expresión: Aplicando la propiedad distributiva en las dos partes de la expresión, tenemos: Que es equivalente a: Por la propiedad asociativa, agrupando los términos semejantes, obtenemos: Ir a N. Reales Ir a Menú principal

Otras propiedades de los números Reales Ejemplo: Escribir la expresión siguiente en varias formas equivalentes aplicando alguna propiedad de los Reales: Ir a Menú principal

Otras propiedades de los números Reales Ejemplo: Escribir la expresión siguiente en varias formas equivalentes aplicando alguna propiedad de los Reales: Aplicando la propiedad enmarcada, tenemos estas dos formas equivalentes de la expresión Fin del ejemplo Ir a N. Reales Ir a Menú principal

Propiedades de las fracciones Ejemplo: escribir la expresión siguiente en formas equivalentes aplicando las propiedades: Ir a Menú principal

Propiedades de las fracciones Otro ejemplo de fracciones Ejemplo: escribir la expresión siguiente en formas equivalentes aplicando las propiedades: Por la propiedad señalada, podemos escribir estas dos formas equivalentes: Fin del ejemplo Otro ejemplo de fracciones Ir a Menú principal

Propiedades de las fracciones Ejemplo: simplificar la expresión siguiente aplicando las propiedades: Ir a Menú principal

Propiedades de las fracciones Ejemplo: simplificar la expresión siguiente aplicando las propiedades: por la propiedad señalada, la expresión equivale a esta otra Ir a Menú principal

Propiedades de las fracciones Ejemplo: simplificar la expresión siguiente aplicando las propiedades: y también a estas otras dos Ir a otro ejemplo Ir a Menú principal Fin del ejemplo

Propiedades de las fracciones Ejemplo: simplificar la fracción aplicando las propiedades: Ir a Menú principal

Propiedades de las fracciones Ejemplo: simplificar la fracción aplicando las propiedades: por la propiedad señalada, la expresión equivale a estas otras dos Ir a Menú principal

Propiedades de las fracciones Ejemplo: simplificar la fracción aplicando las propiedades: por la propiedad señalada, la expresión equivale a estas otras dos y finalmente a la forma simplificada Ir a N. Reales Ir a Menú principal Fin del ejemplo

Valor absoluto Definición: Ir a Menú principal se lee “valor absoluto de x” Ir a Menú principal

Valor absoluto Definición: En otras palabras, el VALOR ABSOLUTO es el valor que tiene un número sin importar el signo que tenga. Ir a Menú principal

Valor absoluto Definición: Ejemplos: Ir a Menú principal

Valor absoluto Definición: Ejemplos: Ir a Menú principal

Valor absoluto Definición: Ejemplos: Ir a Menú principal

Valor absoluto Definición: Ejemplos: Más de Valor Absoluto Ir a Menú principal

Evaluar expresiones que contengan valor absoluto: Ejemplo: si evaluar la expresión Ir a Menú principal

Evaluar expresiones que contengan valor absoluto: ejemplo evaluar la expresión Valor absoluto del número a Valor absoluto de la diferencia entre b y a Ir a Menú principal

Evaluar expresiones que contengan valor absoluto: ejemplo evaluar la expresión Sustituyendo los valores conocidos de a y b, (cada uno con su signo) tenemos: Ir a Menú principal

Valor absoluto Evaluar expresiones que contengan valor absoluto: ejemplo Si evaluar la expresión Sustituyendo los valores conocidos de a y b, tenemos: expresión que equivale a: Ir a Menú principal

Valor absoluto Evaluar expresiones que contengan valor absoluto: ejemplo Si evaluar la expresión Sustituyendo los valores conocidos de a y b, tenemos: expresión que equivale a: Fin del ejemplo y finalmente, a: Más de Valor Absoluto Ir a Menú principal

Ecuaciones y desigualdades que incluyen valor absoluto Para resolver ecuaciones y desigualdades con valor absoluto, simplemente se aplica la definición. Por ejemplo, resolver la ecuación: Ir a Menú principal

Valor absoluto Ecuaciones y desigualdades que incluyen valor absoluto Por ejemplo, resolver la ecuación: Por la definición de valor absoluto, y considerando que no sabemos si es positivo o negativo, planteamos: Ir a Menú principal

Valor absoluto Ecuaciones y desigualdades que incluyen valor absoluto Por ejemplo, resolver la ecuación: Por la definición de valor absoluto, y considerando que no sabemos si es positivo o negativo, planteamos: La solución de la ecuación original, está formada por las soluciones de las dos últimas ecuaciones Fin de este tema Ir a Menú principal

Simplifica la expresión Leyes de exponentes E x p o n e n t e s (ejemplo 1 de 2) Simplifica la expresión Ir a Menú principal

E x p o n e n t e s (ejemplo 1 de 2) Leyes de exponentes E x p o n e n t e s (ejemplo 1 de 2) Simplifica la expresión = Aplicamos la primera Ley, extendiéndola a 3 factores Ir a Menú principal

Simplifica la expresión Leyes de exponentes E x p o n e n t e s (ejemplo 1 de 2) Simplifica la expresión = = Expresamos las fracciones con un denominador común (para poder sumarlas) Ir a Menú principal

E x p o n e n t e s (ejemplo 2 de 2) Leyes de exponentes E x p o n e n t e s (ejemplo 2 de 2) Simplifica la expresión = = Simplificamos el exponente para llegar al resultado Fin de este ejemplo Ir a otro ejemplo de exponentes Ir a Menú principal

Simplifica la expresión Leyes de exponentes E x p o n e n t e s (ejemplo 2 de 2) Simplifica la expresión Ir a Menú principal

Simplifica la expresión Leyes de exponentes E x p o n e n t e s (ejemplo 2 de 2) Simplifica la expresión Aplicando las dos leyes enmarcadas en ambos paréntesis, obtenemos la expresión Ir a Menú principal

E x p o n e n t e s (ejemplo 2 de 2) Leyes de exponentes E x p o n e n t e s (ejemplo 2 de 2) Simplifica la expresión = Después, agrupando las variables iguales, y las constantes, resulta Ir a Menú principal

E x p o n e n t e s (ejemplo 2 de 2) Leyes de exponentes E x p o n e n t e s (ejemplo 2 de 2) Simplifica la expresión = = Fin del tema exponentes Finalmente, se aplican estas dos leyes para simplificar la expresión Ir a Menú principal

Recordatorio de las leyes para R a d i c a l e s Ir a Menú principal Ir a Menú principal

Recordatorio de las leyes para R a d i c a l e s Regresar Ir a Menú principal

Simplificar R a d i c a l e s Ir a ejemplos de radicales Simplificar expresiones con radicales significa una de las siguientes cosas: Que no existan dentro de la raíz exponentes mayores o iguales a su índice. Que no existan fracciones dentro de la raíz, ni raíces en un denominador. Que no existan expresiones con exponentes negativos ni fraccionarios. Ir a ejemplos de radicales Ir a Menú principal

R a d i c a l e s Ir a Menú principal

Primeramente, por la definición de exponente negativo, tenemos: R a d i c a l e s Primeramente, por la definición de exponente negativo, tenemos: Ir a leyes de radicales Ir a Menú principal

R a d i c a l e s Ir a leyes de radicales Ir a Menú principal Luego, para eliminar el denominador en la raíz, aplicamos la operación llamada racionalización, que consiste primero en multiplicar numerador y denominador de la fracción, por un factor que convierta al denominador en una expresión con exponente igual al índice de la raíz (en este caso 4) Ir a leyes de radicales Ir a Menú principal

La expresión hasta este momento queda así R a d i c a l e s La expresión hasta este momento queda así Ir a leyes de radicales Ir a Menú principal

Luego, se aplica esta propiedad de radicales, para obtener Ir a leyes de radicales Ir a Menú principal

Otro ejemplo de radicales Finalmente, esta es la expresión simplificada (sin fracciones dentro de la raíz) Fin de este ejemplo Otro ejemplo de radicales Ir a Menú principal

R a d i c a l e s (ejemplo 2 de 2) Simplifica el radical Ir a leyes de radicales Ir a Menú principal

R a d i c a l e s (ejemplo 2 de 2) Simplifica el radical Simplificar el radical, en este caso, significa que no existan dentro de la raíz exponentes mayores o iguales a su índice (que es 3) Ir a leyes de radicales Ir a Menú principal

R a d i c a l e s (ejemplo 2 de 2) Simplifica el radical Para simplificar, buscaremos expresar los números dentro de la raíz, como cubos (para después poder eliminarlos con la raíz cúbica) Ir a leyes de radicales Ir a Menú principal

R a d i c a l e s (ejemplo 2 de 2) Simplifica el radical La expresión dentro de la raíz queda así : = Ir a leyes de radicales Ir a Menú principal

R a d i c a l e s (ejemplo 2 de 2) Simplifica el radical = Agrupando los factores cúbicos, tenemos: = Ir a leyes de radicales Ir a Menú principal

R a d i c a l e s (ejemplo 2 de 2) Simplifica el radical = Aplicamos la Ley de radicales que nos permite separarlos, como sigue : Ir a leyes de radicales Ir a Menú principal

R a d i c a l e s (ejemplo 2 de 2) Simplifica el radical = Finalmente, otra Ley nos da el resultado simplificado final: Fin del tema Radicales Ir a Menú principal

Operaciones algebraicas Ir a Suma de polinomios Ir a Resta de polinomios Operaciones algebraicas Ir a Producto de polinomios Ir a Polinomio entre monomio Ir a Polinomio entre polinomio Ir a Menú principal

Se suman los coeficientes de las potencias iguales de la variable Suma de polinomios Se suman los coeficientes de las potencias iguales de la variable Ejemplo: sumar los polinomios Ir a Menú principal

Suma de polinomios Ejemplo Se suman los coeficientes de las potencias iguales de la variable Ejemplo Primero, agrupamos los términos semejantes de la variable x

Suma de polinomios Ejemplo Se suman los coeficientes de las potencias iguales de la variable Ejemplo Luego, sumamos estos términos semejantes para obtener el resultado simplificado. Fin de este ejemplo Ir a Operaciones Algebraicas Ir a Menú principal

Resta de polinomios (ejemplo 1 de 1) Primero eliminamos los paréntesis, PERO hay que recordar que si el signo MENOS precede al segundo polinomio, debemos cambiar los signos de todos sus términos Ir a Menú principal

Resta de polinomios (ejemplo 1 de 1) Al eliminar los paréntesis, tenemos : Ir a Menú principal

Resta de polinomios (ejemplo 1 de 1) Ir a Operaciones Algebraicas Finalmente, agrupamos y sumamos los términos semejantes para obtener el resultado : Fin de este ejemplo Ir a Operaciones Algebraicas Ir a Menú principal

Producto de polinomios (ejemplo 1 de 1) Ir a Menú principal

Producto de polinomios (ejemplo 1 de 1) Procedimiento: La regla para efectuar esta operación, es la Ley Distributiva del producto: Cada término de uno de los factores, se multiplica por cada término del otro factor Después se suman los términos semejantes

Producto de polinomios (ejemplo 1 de 1) =

El resultado de los 3 productos es el siguiente: Producto de polinomios (ejemplo 1 de 1) El resultado de los 3 productos es el siguiente:

Ir a Operaciones Algebraicas Producto de polinomios (ejemplo 1 de 1) Finalmente, agrupando los términos semejantes, la expresión simplificada y ordenada es: Fin de este ejemplo Ir a Operaciones Algebraicas Ir a Menú principal

Polinomio entre monomio ( ejemplo 1 de 1 ) Esta operación se resuelve como sigue: El monomio divide a cada término del polinomio por separado. Después se simplifican las fracciones. Ir a Menú principal

Polinomio entre monomio ( ejemplo 1 de 1 ) El monomio divide a cada término del polinomio por separado Ir a Menú principal

Polinomio entre monomio ( ejemplo 1 de 1 ) Simplificando cada fracción, el resultado final es: Fin de este ejemplo Ir a Operaciones Algebraicas Ir a Menú principal

Polinomio entre polinomio ( ejemplo 1 de 1 ) Ir a Menú principal

Polinomio entre polinomio ( ejemplo 1 de 1 ) dividendo divisor 3 notas previas Se utiliza el mismo procedimiento que en la división larga de la Aritmética Dividendo y divisor deben ser ordenados en potencias decrecientes de la variable Si no hay término en alguna potencia se deja el hueco correspondiente o se escribe con cero como coeficiente Ir a Menú principal

Polinomio entre polinomio ( ejemplo 1 de 1 ) aquí irá el cociente x divisor dividendo El primer término del dividendo se divide por el primero del divisor. Será el primer término del cociente. Ir a Menú principal

Polinomio entre polinomio ( ejemplo 1 de 1 ) primer término del cociente x divisor El primer término del cociente se multiplica por todo el divisor y se pone debajo del dividendo (en el lugar que le corresponde según la potencia de la variable), para restarse de él. El resultado de la resta, más los términos del dividendo que no se restaron, será el nuevo dividendo. nuevo dividendo Ir a Menú principal

Polinomio entre polinomio ( ejemplo 1 de 1 ) x + 2 Se repiten los pasos anteriores hasta que el nuevo dividendo sea de grado menor al del divisor (o sea, que ya no puede dividirse más). En ese caso, el nuevo dividendo se llamará residuo 2 Ir a Menú principal

x Polinomio entre polinomio ( ejemplo 1 de 1 ) + 2 2 El resultado final de toda división tiene la forma: x + 2 2 Resultado = Fin de este ejemplo Ir a Operaciones Algebraicas Ir a Menú principal

Casos de factorización Factores comunes Diferencia de cuadrados Suma o resta de cubos Casos de factorización Forma x2 + bx + c Polinomios de 4 términos Forma ax2 + bx + c Ir a Menú principal

Factorizar expresiones que tienen factores comunes Ejemplo: factorizar la expresión Para aislar el factor común a los tres términos, tomamos cada uno de los factores presentes en todos ellos, con el número MENOR de veces en que aparezca. En este caso, los factores presentes en todos los términos son: Ir a Menú principal

Factorizar expresiones que tienen factores comunes Después expresamos cada uno de los términos originales, como sigue: Ir a Menú principal

Factorizar expresiones que tienen factores comunes En este caso tenemos : = Fin de este ejemplo Se puede comprobar fácilmente si la factorización fue bien hecha: al efectuar el producto se debe obtener la expresión original. Ir a Factorización Ir a Menú principal

Factorizar diferencias de cuadrados a2 – b2 = ( a + b ) ( a – b ) Ejemplo: factorizar Ir a Menú principal

Factorizar diferencias de cuadrados a2 – b2 = ( a + b ) ( a – b ) Ejemplo: factorizar a2 – b2 forma Ir a Menú principal

a2 – b2 = ( a + b ) ( a – b ) Factorizar diferencias de cuadrados Ejemplo: factorizar Siguiendo la fórmula de factorización, el resultado es: Fin de este ejemplo Ir a Factorización Ir a Menú principal

Factorizar sumas y diferencias de cubos Ejemplo: factorizar Ir a Menú principal

Factorizar sumas y diferencias de cubos Ejemplo: factorizar = Primeramente, la expresión se puede interpretar como una diferencia de cuadrados Ir a Menú principal

Factorizar sumas y diferencias de cubos Ejemplo: factorizar = y en ese caso, la factorización es Ir a Menú principal

Factorizar sumas y diferencias de cubos Ejemplo: factorizar = Este “resultado” puede ser a su vez factorizado. Los factores son de los casos Suma de cubos Diferencia de cubos Ir a Menú principal

Factorizar sumas y diferencias de cubos Ejemplo: factorizar = cuya factorización es = Ir a Menú principal

Factorizar sumas y diferencias de cubos Ejemplo: factorizar = = Ir a Menú principal Fin de este ejemplo Ir a Factorización

Para efectuar la factorización: Factorizar trinomios de la forma x2 + bx + c Para efectuar la factorización: - Determina dos números cuya SUMA sea igual a b y cuyo PRODUCTO sea igual a la constante c - Usa los dos números determinados en el paso anterior, incluidos sus signos, para escribir el trinomio en su forma factorizada: Ir a Menú principal

Factorizar trinomios de la forma x2 + bx + c Ejemplo: factorizar Ir a Menú principal

Factorizar trinomios de la forma x2 + bx + c Ejemplo: factorizar +8 y –3 son los números que cumplen con las dos condiciones mencionadas Ir a Menú principal

Finalmente, la factorización es: Factorizar trinomios de la forma x2 + bx + c Ejemplo: factorizar Finalmente, la factorización es: Fin de este ejemplo Ir a Factorización Ir a Menú principal

Factorizar trinomios de la forma ax2 + bx + c ( en donde a es diferente de 1 ) Ejemplo: factorizar Ir a Menú principal

Factorizar trinomios de la forma ax2 + bx + c ( en donde a es diferente de 1 ) Ejemplo: factorizar En todos los casos de factorización, conviene primero revisar si hay un factor común en la expresión. Si lo hay, factorízalo. Ir a Menú principal

En este caso, hay un factor común a los tres términos: es 3y Factorizar trinomios de la forma ax2 + bx + c ( en donde a es diferente de 1 ) Ejemplo: factorizar En este caso, hay un factor común a los tres términos: es 3y Ir a Menú principal

Dentro del paréntesis hay un trinomio de la forma ax2 + bx + c Factorizar trinomios de la forma ax2 + bx + c ( en donde a es diferente de 1 ) Ejemplo: factorizar Dentro del paréntesis hay un trinomio de la forma ax2 + bx + c Para factorizar a su vez el trinomio 2y2 + y - 6, se emplea un método de tanteos, que se explica a continuación: Ir a Menú principal

Factorizar trinomios de la forma ax2 + bx + c ( en donde a es diferente de 1 ) Ejemplo: factorizar 2 y y -3 +2 Se busca una pareja de factores de 2y2 , por un lado, y otra pareja para -6 . Aquí se presenta una de las posibilidades. Ir a Menú principal

Factorizar trinomios de la forma ax2 + bx + c ( en donde a es diferente de 1 ) Ejemplo: factorizar Si la suma de los productos en cruz es el término central, + y , la factorización ya está casi hecha y se expresa como sigue: 2 y y -3 +2 Ir a Menú principal

Factorizar trinomios de la forma ax2 + bx + c ( en donde a es diferente de 1 ) Ejemplo: factorizar 2 y y -3 +2 (Puedes comprobar fácilmente si este método funciona, multiplicando los factores, y obteniendo el trinomio 2y2 + y -6) Ir a Menú principal

Finalmente el resultado factorizado es: Factorizar trinomios de la forma ax2 + bx + c ( en donde a es diferente de 1 ) Ejemplo: factorizar Finalmente el resultado factorizado es: Fin de este ejemplo Ir a Factorización Ir a Menú principal

Factorizar polinomios de 4 términos por agrupación Proceso Primero, determina si hay algún factor común a los 4 términos. Si lo hay, factorízalo. En caso contrario, ordena los términos de 2 en 2 de manera que cada uno de los 2 grupos tenga un factor común. Factoriza el factor común en cada uno de ambos grupos. Por último, factoriza el factor común (si lo hay) de la expresión del paso anterior. Ir a Menú principal

Factorizar polinomios de 4 términos por agrupación Ejemplo: factorizar Ir a Menú principal

Factorizar polinomios de 4 términos por agrupación Ejemplo: factorizar Dado que no hay un factor común a los 4 términos, agrupamos los términos de 2 en 2 de forma que los tengan. En este caso, hay factor común en los 2 primeros (a), y otro en los 2 últimos (b) . Factorizándolos: = Ir a Menú principal

(x2 – y2) Factorizar polinomios de 4 términos por agrupación Ejemplo: factorizar = En estos 2 términos, hay a su vez un factor común (x2 – y2) Ir a Menú principal

Factorizar polinomios de 4 términos por agrupación = = Ejemplo: factorizar = Factorizando el factor común (x2 – y2) tenemos : = Ir a Menú principal

Factorizar polinomios de 4 términos por agrupación = = Ejemplo: factorizar = Factorizando la diferencia de cuadrados, tenemos finalmente: = Ir a Factorización Ir a Menú principal Fin de este ejemplo

Fracciones algebraicas Ir a Simplificación de fracciones Ir a Producto de fracciones Fracciones algebraicas Ir a Cociente de fracciones Ir a Suma o Resta de fracciones Ir a Menú principal

Simplificación de fracciones algebraicas Proceso Se factorizan completamente numerador y denominador de la fracción Se cancelan los factores comunes en el numerador y denominador Ir a Menú principal

Simplificación de fracciones algebraicas Ejemplo: simplificar la fracción

Simplificación de fracciones algebraicas Ejemplo: simplificar la fracción Factorizando numerador y denominador, tenemos:

Simplificación de fracciones algebraicas Ejemplo: simplificar la fracción Factorizando numerador y denominador, tenemos: Cancelando los factores comunes:

Simplificación de fracciones algebraicas Ejemplo: simplificar la fracción Factorizando numerador y denominador, tenemos: Cancelando los factores comunes: La fracción simplificada es: Ir a Fracciones Ir a Menú principal

Producto de fracciones algebraicas Proceso de la operación Factoriza completamente el numerador y el denominador de las fracciones Cancela los factores comunes Multiplica los numeradores (será el numerador final) y los denominadores (será el denominador final) Ir a Menú principal

Producto de fracciones algebraicas Efectúa el producto Ir a Menú principal

Factorizando los numeradores y denominadores: Producto de fracciones algebraicas Efectúa el producto Factorizando los numeradores y denominadores: Ir a Menú principal

Cancelando los factores comunes: Producto de fracciones algebraicas Cancelando los factores comunes: = Ir a Menú principal

Producto de fracciones algebraicas Cancelando los factores comunes: = El producto simplificado es: Fin de este ejemplo Ir a Fracciones algebraicas Ir a Menú principal

Cociente de fracciones algebraicas Proceso de la operación Invierte la segunda fracción (el divisor). De aquí en adelante procede como en un producto de fracciones, o sea: Factoriza completamente los numeradores y denominadores Cancela los factores comunes en numeradores y denominadores Multiplica los numeradores y los denominadores restantes Ir a Menú principal

Ejemplo 1 de 1: efectúa el cociente de fracciones Cociente de fracciones algebraicas Ejemplo 1 de 1: efectúa el cociente de fracciones Ir a Menú principal

Cociente de fracciones algebraicas Ejemplo 1 de 1: efectúa el cociente de fracciones Invierte la segunda fracción, y escribe la operación como producto: Ir a Menú principal

Cociente de fracciones algebraicas Ejemplo 1 de 1: efectúa el cociente de fracciones Invierte la segunda fracción, y escribe la operación como producto: Factoriza los numeradores y denominadores: Ir a Menú principal

Cociente de fracciones algebraicas Ejemplo 1 de 1: efectúa el cociente de fracciones Invierte la segunda fracción, y escribe la operación como producto: Factoriza los numeradores y denominadores: Para poder eliminar el factor y-x, se escribe como sigue: Ir a Menú principal

Cociente de fracciones algebraicas Ejemplo 1 de 1: efectúa el cociente de fracciones Invierte la segunda fracción, y escribe la operación como producto: El cociente de fracciones queda así: Ir a Menú principal

Cociente de fracciones algebraicas Ejemplo 1 de 1: efectúa el cociente de fracciones Invierte la segunda fracción, y escribe la operación como producto: Cancelando los factores comunes en numerador y denominador: Ir a Menú principal

Cociente de fracciones algebraicas Ejemplo 1 de 1: efectúa el cociente de fracciones Invierte la segunda fracción, y escribe la operación como producto: Cancelando los factores comunes en numerador y denominador: La expresión simplificada es: Ir a Fracciones Ir a Menú principal

Suma y resta de fracciones algebraicas Ejemplo: Ir a Menú principal

Suma y resta de fracciones algebraicas Ejemplo: Esta resta de fracciones no puede efectuarse porque sus denominadores son diferentes. Las dos fracciones deben convertirse en otras equivalentes que tengan un denominador común. Este denominador es el mínimo común múltiplo de los denominadores originales Ir a Menú principal

Suma y resta de fracciones algebraicas Ejemplo: Para hallar el mcm de los denominadores, comenzamos por factorizar cada uno de ellos: Ir a Menú principal

Suma y resta de fracciones algebraicas Ejemplo: El mínimo común múltiplo mcm, está formado por los factores no-repetidos, y por los factores repetidos tomados con su máximo exponente: Ir a Menú principal

Suma y resta de fracciones algebraicas Ejemplo: = mcm Para obtener el nuevo primer numerador, se divide el mcm entre el denominador de la primera fracción (factorizado), y el resultado se multiplica por el antiguo primer numerador. Se hace lo mismo para obtener el nuevo segundo numerador Ir a Menú principal

Efectuando los dos productos indicados, resulta esta expresión Suma y resta de fracciones algebraicas Ejemplo: = = Efectuando los dos productos indicados, resulta esta expresión Ir a Menú principal

Ir a Fracciones algebraicas Suma y resta de fracciones algebraicas Ejemplo: = = Finalmente, agrupando los términos semejantes, tenemos la expresión simplificada Fin de este ejemplo Ir a Fracciones algebraicas Ir a Menú principal

Despeje de variables en fórmulas Para despejar variables en las ecuaciones o fórmulas, se aplican estos tres principios: Principio de adición: podemos sumar o restar cualquier constante o cualquier expresión que incluya a la variable en ambos lados de la fórmula. Principio de multiplicación: podemos multiplicar o dividir ambos lados de la fórmula por cualquier constante distinta de cero o por cualquier expresión que incluya a la variable. Principio de potencia: podemos elevar a un exponente o sacar raíz en ambos lados de una fórmula. Ir a Menú principal

Despeje de variables en fórmulas Más consejos útiles para despejar variables de ecuaciones: Elimina las fracciones que aparezcan en la fórmula (si las hay), multiplicando ambos lados por el denominador común de las fracciones involucradas. Elimina cualquier paréntesis que haya (estos dos pasos pueden intercambiarse). Puedes aislar la variable en el lado en que sea más fácil hacerlo. Después puedes invertir la expresión. La variable despejada deberá tener como coeficiente +1. Ir a Menú principal

Despeje de variables en fórmulas Ejemplo 1 de 2 : Despejar a de la ecuación Ir a Menú principal

Despeje de variables en fórmulas (ejemplo 1 de 2) Despejar a de la ecuación Para despejar a de la fórmula, primero eliminaremos el denominador, aplicando el principio de multiplicación. Luego “quitaremos todo lo que le estorbe para que quede aislada”, aplicando según convenga los principios de adición, multiplicación y potencia. Conviene comenzar desde lo más lejano a a Ir a Menú principal

Despeje de variables en fórmulas (ejemplo 1 de 2) Despejar a de la ecuación Para eliminar el denominador, se multiplica toda la fórmula por 2, y resulta Ir a Menú principal

Despeje de variables en fórmulas (ejemplo 1 de 2) Despejar a de la ecuación = Empezaremos a “quitar todo lo que estorbe a a “ empezando por lo más lejano a ella. Por el principio de adición, restando 2(v0. t) en ambos lados de la fórmula, tenemos Ir a Menú principal

Despeje de variables en fórmulas (ejemplo 1 de 2) Despejar a de la ecuación = Luego, por el principio de multiplicación, dividimos ambos lados de la ecuación entre t2 , resultando Ir a Menú principal

Despeje de variables en fórmulas (ejemplo 1 de 2) Despejar g de la ecuación = Finalmente, intercambiando el lado izquierdo con el derecho, el resultado es Fin de este ejemplo Ir a otro ejemplo Ir a Menú principal

Despeje de variables en fórmulas (ejemplo 2 de 2) Despejar g de la ecuación Ir a Menú principal

(comenzando por lo más lejano a ella), dividiendo la fórmula entre v0 Despeje de variables en fórmulas (ejemplo 2 de 2) Despejar g de la ecuación Empecemos a “quitar lo que estorba a g” para que quede aislada (comenzando por lo más lejano a ella), dividiendo la fórmula entre v0 Ir a Menú principal

Despeje de variables en fórmulas (ejemplo 2 de 2) Despejar g de la ecuación Luego, para “deshacernos” de la raíz, elevamos al cuadrado ambos lados de la fórmula Ir a Menú principal

Despeje de variables en fórmulas (ejemplo 2 de 2) Despejar g de la ecuación Para que g aparezca como numerador, multiplicamos toda la fórmula por g : Ir a Menú principal

Dividiendo toda la fórmula entre Despeje de variables en fórmulas (ejemplo 2 de 2) Despejar g de la ecuación Dividiendo toda la fórmula entre tenemos Ir a Menú principal

Despeje de variables en fórmulas (ejemplo 2 de 2) Despejar g de la ecuación Finalmente el despeje de g es Fin Ir a Menú principal