COMPRESION Requisitos de Resistencia Parámetro de esbeltez Diseño y cálculo por compresión Pandeo Local

Curva de Euler

Idealización para el Esfuerzo Crítico de Pandeo en columnas esbeltas: = esbeltez  2 n 2  2 E  crit = La columna es inicialmente recta La carga es aplicada axialmente El material es homogéneo En condiciones ideales, la columna permanecerá recta mientras la carga es gradualmente incrementada hasta alcanzar la carga crítica, donde se produce el pandeo repentino. Si la carga se continúa incrementando, la columna colapsa. Si la carga se reduce, la columna volverá a estar recta. La magnitud del pandeo es indeterminada; teóricamente, se puede alcanzar una valor de pandeo suficiente para causar, a su vez, fallo por compresión y tracción en las fibras longitudinales internas y externas de la columna P = EI L 2 n2 2n2 2 n = número de ciclos sinusoidales de la elástica Si no se cumplen todas las condiciones ideales, la columna se pandea en el momento de recibir la carga

eje x eje y P 2 L eje x P 3 L P eje y 4 L eje x P L n = 1 n = 2 n = 3 n = 4

Columna con apoyos Empotrado – Libre: P L y P L a x y x P M = Pa P M P

Columna con apoyos Empotrado – Libre:  M : Pa - M - P y = 0 Por equilibrio: = E I M (x) d2yd2y dx 2 = E I P(a – y) d2yd2y dx 2 + k 2 y = k 2 a d2yd2y dx 2 E I P Haciendo k 2 = M = P(a – y) Solución:y = A sen ( k x) + B cos ( k x) + a Por condiciones de borde:1) : en x = 0, y = 0B = - a 2) : en x = 0, y´= 0A = 0 a cos kL = 0 K 2 = = E I P 4L 2  2 P crit = EI 4L 2 22 y = a - a cos ( k x) 3) : en x = L, y = a a = a - a cos ( k L) como a ≠ 0, cos kL = 0 KL = 2 

Columna con apoyos Empotrado – Empotrado: P L P y M P L P M M (x) P Origen en el centro y P eje y M x

Columna con apoyos Empotrado – Empotrado:  M : M – M (x) - P y = 0 Por equilibrio: = E I M (x) d2yd2y dx 2 = E I M - Py d2yd2y dx 2 E I P Haciendo k 2 = M (x) = M - Py Solución: Por condiciones de borde:1) : en x = 0, y´= 0A = 0 2) : en x = L/2, y´= 0 sen (kL/2) = 0 K 2 = = E I P L 2 4  2 P crit = EI L 2  2 0 = - Bk sen ( k L/2) como K ≠ 0, L ≠ 0KL 2 =  + k 2 y = d2yd2y dx 2 E I M y = A sen ( k x) + B cos ( k x) + P M y´= Ak cos ( k x) - Bk sen ( k x)

P L eje y Columna con apoyos Empotrado – Articulado: P L P y F M (x) P F P FL F y P eje y FL x F

Columna con apoyos Empotrado – Articulado:  M : FL – M (x) - P y – Fx = 0 = E I M (x) d2yd2y dx 2 = E I F(L – x) - Py d2yd2y dx 2 E I P Haciendo k 2 = M (x) = F(L – x) - Py Por condiciones de borde:1) : en x = 0, y= 0 2) : en x = 0, y´= 0 P = EI L 2 19,36 tan kL = kL + k 2 y = d2yd2y dx 2 E I F(L – x) y = A sen ( k x) + B cos ( k x) + P F(L – x) y´= Ak cos ( k x) - Bk sen ( k x) - P F B = P FL - A = kP F kL ≈ 4,4 rad 3) : en x = L, y= 0 P F sen ( k L) k 0 = [ - L cos ( k L)] P F sen ( k x) k y = [ - L cos ( k x) + (L – x)] P crit = EI L 2 2  2

L Art – Art Emp - Libre Emp - Emp Emp - Art L 2L L 0,5 L L √2 L

Unificación de la fórmula de Euler para distintos tipos de apoyos: Se llamará Longitud Efectiva (L e ) a la longitud que genere un ciclo (n = 1) en la elástica de la columna L e = kL Para todos los tipos de apoyos estudiados: P crit = EI L e 2 22 P = EI L 2 22 Emp - Art Emp - Emp Emp - Libre Art – Art P = EI 4L 2 22 P= EI L 2  2 P= EI L 2 2  2 P = EI (2L) 2 22 P= EI (L/2) 2  2 P= EI (L/√2) 2  2 L e = L K = 1 L e = 2L K = 2 L e = 0,5L K = 0,5 L e = 0,71 L K = 0,71 P = EI L 2 22  2  2 E  crit = = r L e

Valores de K recomendados por la Norma Covenin 1618 – 98:

El Método LRFD especifica que la relación entre Cargas externas y Resistencia a compresión debe ser: P u = Suma de las cargas factorizadas P n = Resistencia nominal por compresión = A g F cr F cr = Esfuerzo crítico de Pandeo Ø c = factor de resistencia para miembros a compresión = 0,85 Relación de esbeltez efectiva (parámetro de esbeltez) Requisitos de Resistencia: n u PP c   Este factor λ c incluye: - las propiedades del material - las dimensiones del miembro

Combinando λ c con 2 FyFy  F cr λcλc 1 Considerando posibles desalineamientos iniciales: 2 FyFy  F cr λcλc 0,877 Si la columna está en el rango de pandeo inelástico: 2  F y F cr λcλc 2  E F  2 r kL ( )

Se considera λ c = 1,5 el punto de inflexión de la curva de Euler:

para λ c ≤ 1,5: 2 FyFy  F cr λcλc 0,877 Estas expresiones están basadas en estudios experimentales realizados por Galambos (1988), considerando desalineamientos iniciales de L/  F y F cr λcλc para λ c > 1,5: Las normas AISC y COVENIN 1618 – 98 recomiendan que para miembros sometidos a compresión la relación de esbeltez kL/r no debe exceder en ningún caso el valor de 200. λ ≤ 200

Ejemplo 1: a) Determine la resistencia de diseño para un perfil IPN 140 SIDETUR, con longitud no arriostrada de 2,40 m y extremos articulados. Determine la resistencia del mismo perfil con: Determine la resistencia del mismo perfil con: b) Extremos empotrados c) Una longitud no arriostrada de 2,70 m. y extremos art-emp. Perfil IPN SIDETUR 140: r x = 5,61 cm r y = 1,40 cm E = 2 x 10 6 kg/cm 2 Fy = 2500 kg/cm 2 Ag = 18,2 cm 2 Fy = 2500 kg/cm 2 Ag = 18,2 cm 2 = kL/r y λ = 171,43 Parámetro de esbeltez:  c = 1,88 > 1,5 Esfuerzo crítico de pandeo: F cr = 619 kg/cm 2 P n = kg Ø c P n = 9568 kg a) Para extremos articulados: k = 1

b) Para extremos empotrados: k = 0,65 = kL/r y λ = 111,43 Parámetro de esbeltez:  c = 1,22 < 1,5 Esfuerzo crítico de pandeo: F cr = 1336 kg/cm 2 P n = kg Ø c P n = kg c) Para extremos articulado - empotrados: k = 0,80 = kL/r y λ = 137,14 Parámetro de esbeltez:  c = 1,51 > 1,5 Esfuerzo crítico de pandeo: F cr = 966 kg/cm 2 P n = kg Ø c P n = kg

Ejemplo 2: Determine el perfil W ASTM A36 necesario para soportar una carga de compresión de 50 kps si la altura no arriostrada es 12 pies. La columna es de extremos art – emp. ¿Cuál sería el perfil adecuado si hubiera arriostramiento lateral en el eje más fuerte? Perfiles W ASTM A36: E = kpsi Fy = 36 kpsi Dimensionamiento inicial: FyFy  A 0 PuPu = 1,39 pul 2 A 0 Elegimos W 10 x 12 : Area = 3,54 pul 2 r x = 3,9 pul r y = 0,785 pul Chequeamos esbeltez: = kL/r y λ = 146,75 Para extremos articulado - empotrado: k = 0,80 Para extremos articulado - empotrado: k = 0,80 Parámetro de esbeltez:  c = 1,62 > 1,5 Esfuerzo crítico de pandeo: F cr = 12057, 44 psi P n = lb Ø c P n = lbs < lbs El perfil elegido no sirve

Segundo dimensionamiento :  A = 4,15 pul 2 A 1 Elegimos W 8 x 15 : Area = 4,44 pul 2 r x = 3,29 pul r y = 0,876 pul Chequeamos esbeltez: = kL/r y λ = 131,51 Para extremos articulado - empotrado: k = 0,80 Para extremos articulado - empotrado: k = 0,80 Parámetro de esbeltez:  c = 1,45 < 1,5 Esfuerzo crítico de pandeo: F cr = 14930, 88 psi P n = lb Ø c P n = lbs > lbs El perfil elegido es adecuado

PANDEO LOCAL: Para que un miembro desarrolle plenamente su resistencia al pandeo, los elementos componentes de la sección transversal deben ser lo suficientemente robustos. Si esto no se cumple, se puede producir un arrugamiento o pandeo localizado del elemento, provocando que la sección transversal no sea totalmente efectiva. En este caso, se dice que el elemento ha fallado por pandeo local. Los perfiles con alas o almas delgados son susceptibles a este tipo de falla, por lo que no son recomendables para trabajar a compresión. Dado que no siempre esto es posible, el pandeo local debe evitarse reduciendo la resistencia nominal de los miembros. El parámetro fundamental en este tipo de falla es la relación ancho/espesor de cada uno de los elementos que conforman la sección. En una sección cualquiera, podemos distinguir dos tipos de elementos: rigidizados y no rigidizados.

Criterio para la posibilidad de pandeo local: Un miembro a compresión debe estudiarse por pandeo local si cualquier elemento de su sección transversal, rigidizado o no rigidizado, es clasificado como esbelto. Para todo elemento de una sección transversal: λ = b/t ó λ = h/tw Si λ > λ r (Ver Apéndice A, tabla 4.1, Norma Covenin 1618 – 98) en cualquiera de sus componentes, la sección es esbelta.

t r t b hwhw tftf bfbf twtw tftf bfbf hwhw twtw

F CR, Pandeo Local F y b/t Mayoría de los perfiles laminados T, U y doble T Relación b/t baja Relación b/t alta r

Pandeo por flexión Pandeo por flexotorsión P P Factores principales que influyen en el pandeo por torsión o flexotorsión: La sección tiene poca rigidez a la torsión, comparada con la rigidez a la flexión. La sección tiene poca rigidez a la torsión, comparada con la rigidez a la flexión. La columna tiene una longitud relativamente pequeña, y que la sección no es simétrica alrededor de un eje. La columna tiene una longitud relativamente pequeña, y que la sección no es simétrica alrededor de un eje.

Secciones susceptibles al pandeo por torsión o flexotorsión

Factor de reducción por pandeo local: Es posible utilizar un miembro que no cumpla con el requisito de relación ancho/espesor en alguno de los elementos de su sección transversal, pero no se permite que tenga igual carga que un miembro que sí lo cumpla. Esto significa que se debe aplicar un factor de minoración de la resistencia por pandeo local. Q (AISC) Ø as (COVENIN ) Ø as = 1 si λ ≤ λ r (tabla 4.1) Ø as = Ø s Ø a si λ > λ r (tabla 4.1) Apéndice A COVENIN

Tensión Crítica: Para los miembros comprimidos normalmente cargados, el área total de la sección transversal y el radio de giro r se calcularán considerando el área real de la sección transversal. La tensión crítica F cr se calculará con las siguientes fórmulas: 2 FyFy  F cr λcλc 0,877 2  Ø as  F y F cr Ø as λ c Para λ c ≤ 1,5: Para λ c > 1,5: Ø as = Ø s Ø a Para secciones transversales constituidas totalmente por elementos no rigidizados: Para secciones transversales constituidas totalmente por elementos rigidizados: Para secciones transversales constituidas por elementos rigidizados y no rigidizados: Ø as = Ø s ( Ø a = 1 ) Ø as = Ø a ( Ø s = 1 ) Ø as = Ø s Ø a

El diseño de miembros estructurales a compresión simple se puede resumir en: Obtener el perfil de menor área posible que resista la carga última aplicada. Estos cálculos, muchas veces engorrosos, se simplifican enormemente con el uso adecuado de tablas de propiedades de perfiles estructurales, ya que todas las relaciones geométricas de estos perfiles están previamente determinadas. n P c  Con la longitud efectiva o la relación de esbeltez obtenemos directamente la resistencia de diseño del miembro