INTEGRALES DEFINIDAS

Introducción Resulta que el problema de la integración es en todo equivalente al de encontrar el área bajo la curva que representa la dependencia de la velocidad respecto al tiempo. La distancia recorrida en el intervalo de tiempo t1 a t2 es igual al área bajo la curva entre las rectas que corresponden en la gráfica a los valores t1 a t2.

Introducción

Conceptos Fundamentales Hemos visto entonces, "que el concepto de integral y en general del cálculo integral tuvo su origen histórico en la necesidad de resolver problemas concretos, uno de cuyos ejemplos más característicos es el cálculo del área de una figura curvilínea" (AlekSandrov, 1979; 163).

Conceptos Fundamentales Consideremos una curva situada sobre el eje X que representa la gráfica de la función con ecuación y = f(x). Se desea encontrar el área S de la superficie limitada por la curva con ecuación y = f(x), el eje X y las rectas paralelas al eje Y con ecuaciones x = a y x = b. Para tal efecto, dividimos el intervalo [a; b] en n partes, no necesariamente iguales como se muestra a continuación:

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Conceptos Fundamentales Denotamos con x1 la longitud de la primera parte, la de la segunda parte con x2 y así sucesivamente hasta la última xn. En cada parte elegimos puntos r1; r2; …. ; rn, de tal forma que f(r1) x x1 nos da el área del primer rectángulo, (x1 , es la base y f(r1) la altura), f(r2) x x2 da el área del segundo rectángulo y por lo tanto f(rn) x xn da el área del enésimo rectángulo.

Conceptos Fundamentales Luego se tiene que: Sn = f(r1) x x1 + f(r2) x x2 + .... + f(rn) x xn es la suma de las áreas de los rectángulos de la figura anterior.

Conceptos Fundamentales Obsérvese que cuanto más fina sea la subdivisión del segmento [a; b], más próxima estará Sn al área S. Si se considera una sucesión de tales valores por división del intervalo [a; b] en partes cada vez más pequeñas, entonces la suma Sn tendería a S.

Conceptos Fundamentales Al decir subdivisiones cada vez más pequeñas, estamos suponiendo no solo, que n crece indefinidamente, sino también que la longitud del mayor de los xi , en la enésima división tiende a cero.

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Conceptos Fundamentales Por lo que el cálculo del área buscada se ha reducido a calcular el límite (A). El límite (A) recibe el nombre de integral definida de la función f(x) en el intervalo [a , b] y se denota por

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Conceptos Fundamentales Ejemplo: Evaluar Solución:

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