Vector tangente, normal y binormal Definiciones: Z B T N C X Y Sea C una curva en el espacio definida por la función r (t); según hemos visto, dr/dt es un vector en la dirección de la tangente a C. Considerando al escalar t como la longitud de arco s medida a partir de un punto fijo de C de la curva dr/dt es un vector tangente a C y que llamaremos T como se observa en la figura de la derecha. La variación de T respecto de s es una medida de la curvatura de C y viene dada por: .La dirección de en un punto cualquiera de C es la correspondiente a la normal a la curva en dicho punto. El vector unitario N en dirección de la normal se llama normal principal a la curva. El vector unitario B definido por el producto vectorial: , perpendicular al plano formado por T y N, se llama binormal a la curva C. Este sistema de coordenadas recibe el nombre de triedro intrínseco en el punto. Como a medida que varía s el sistema se desplaza, se le conoce con la denomonación de triedro móvil.

DEFINICIÓN DE VECTOR TANGENTE UNITARIO Recordemos que una curva se dice que es suave en un intervalo si r´ es continua y no nula en dicho intervalo. Así pues, la suavidad es suficiente para garantizar que una curva posee vector tangente unitario en todos sus puntos. Cálculo del vector tangente unitario EJEMPLO 1: Hallar el vector tangente unitario a la curva dada por: Se calcula la primera derivada de por tanto el vector tangente unitario es: Cuando t =1, el vector tangente unitario es: Ver figura de la siguiente diapositiva

La dirección del vector tangente unitario depende de la orientación de la curva. Si la parábola estuviera dada por: T(1) sería todavía el vector tangente unitario en el punto (1, 1), pero apuntaría en la dirección opuesta. DEFINICIÓN DE VECTOR NORMAL PRINCIPAL (UNITARIO)

Cálculo del vector normal principal (unitario) EJEMPLO 2: Hallar N (t) y N (1) para la curva representada por: Derivando la función dada vemos que: De donde se deduce que el vector tangente unitario es: Vector tangente unitario Ahora derivando T (t) respecto de t, tenemos: Por lo tanto el vector normal principal es:

Cálculo del vector normal principal (unitario) …continuación Cuando t = 1, el vector normal principal es: Tal como se muestra en la figura de la derecha: DEFINICIÓN DE VECTOR BINORMAL El vector unitario B definido por el producto vectorial: , perpendicular al plano formado por T y N, se llama binormal a la curva C. Cálculo del vector binormal Para calcularlo solo basta aplicar el producto cruz de los vectores T y N