Apuntes de Matemáticas 3º ESO Polinomios U.D. 5 * 3º ESO E.Ap. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

VALOR Y CEROS DE UN POLINOMIO U.D. 5.6 * 3º ESO E.Ap. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Valor numérico de un polinomio Es el número que se obtiene al sustituir las variables por un número y realizar las operaciones indicadas. EJEMPLOS P(x) = 7.x3 + 31.x2 – 6 Para x = 1  P(1) = 7 + 31 – 6 = 32 Q(x) = 2.x3 + 3.x2 Para x = 2  P(2) = 2.8 + 3.4 = 16 + 12 = 28 S(x) = 5.x2 + 3.x + x3 – 6 Para x = – 1  P(-1) = 5.1 + 3.(-1) + (-1) – 6 = – 5 U(x) = 5.x3 + 7.x Para x = 3  P(3) = 5.27 + 7.3 = 135 + 21 = 156 V(x) = 5 – 3.x + x3 Para x= – ½  P(– ½) = 5 – 3.(– ½) + (– ½)3 = 5 – 3/2 – 1/8 = 27 / 8 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ceros de un polinomio Se llaman CEROS o RAÍCES de un polinomio a aquellos valores de la variable que al ser sustituidos en el polinomio dan como resultado 0. EJEMPLOS P(x) = x3 + 3.x2 – 4 Para x = 1  P(1) = 1 + 3 – 4 = 0 x = 1 es un cero o raíz de P(x) Q(x) = 3.x3 – 6.x2 Para x = 2  P(2) = 3.8 – 6.4 = 24 – 24 = 0 x = 2 es un cero o raíz de Q(x) S(x) = 5.x2 + 3.x + x3 – 1 Para x = – 1  P(-1) = 5.1 + 3.(-1) + (-1) – 1 = 0 x = – 1 es un cero o raíz de S(x) @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Término independiente y Ceros Un polinomio puede tener tantos ceros o raíces como el número que nos indique su grado (2 , 3 , 4 , …). Pero probar uno a uno con todos los números hasta dar con los ceros de un polinomio es algo muy largo y poco práctico. Si el polinomio tiene raíces enteras, éstas serán los divisores del término independiente. EJEMPLO 1 P(x) = x3 + 3.x2 – 4 Posibles raíces entera: PRE={ 1, -1, 2 , -2 , 4, -4} Para x = 1  P(1) = 1 + 3 – 4 = 0 x = 1 es un cero o raíz de P(x) Para hallar las otras dos habría que hallar P(-1), P(2), P(-2), P(4) y P(-4) @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Término independiente y Ceros EJEMPLO 2 Q(x) = 3.x3 – 6.x2 Para x = 2  P(2) = 3.8 – 6.4 = 24 – 24 = 0 x = 2 es un cero o raíz de Q(x) ¿Y las otras dos raíces?. ¡No hay término independiente!. En ese caso se extrae factor común: Q(x) = 3.x2 .(x – 2) Posibles raíces entera: PRE={ 1, -1, 2 , -2} Para hallar las otras dos habría que hallar P(1), P(-1) y P(-2) Pero ningún valor da cero. ¿Es que no hay más?. x = 0 es, y por partida doble, la raíz que nos faltaba. Q(x) = 3.x2 .(x – 2) = 3.x.x.(x – 2) = 3.(x – 0).(x – 0).(x – 2) @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Término independiente y Ceros EJEMPLO 3 S(x) = 5.x2 + 3.x + x3 – 1 Para x = – 1  P(-1) = 5.1 + 3.(-1) + (-1) – 1 = 0 x = – 1 es un cero o raíz de S(x) Posibles raíces entera: PRE={ 1 , – 1} Para hallar las otras dos habría que hallar P(1) Para x = 1  P(1) = 5.1 + 3.1 + 1 – 1 = 8 Pero no ha dado cero. ¿Es que no hay más?. Puede que no haya más raíces enteras. Puede que las otras dos sean fraccionarias o irracionales. Puede que la única raíz entera se repita tres veces. Y puede que no halla más raíces reales. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

División y ceros de polinomios RAÍZ DE UN POLINOMIO Si al dividir un polinomio P(x) entre (x – a) el resto es cero, la división es exacta y el valor de a se dice que es una raíz del polinomio. P(x) = (x – a).C(x) + R Si R=0  P(x) = (x – a).C(x) Así pues la división será una herramienta más para poder hallar las raíces de un polinomio. Además, al ser el resto 0, el polinomio quedará factorizado: Dividendo = Divisor x Cociente P(x) = (x – a).C(x) El cociente, C(x), es el polinomio que debemos utilizar para hallar otra raíz, dividiéndolo entre (x – b), y así sucesivamente. Para dividir más rápido y cómodo, se utiliza la REGLA DE RUFFINI. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO