@ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º ESO1 U.D. 1 * 2º ESO NÚMEROS ENTEROS.

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1 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º ESO1 U.D. 1 * 2º ESO NÚMEROS ENTEROS

2 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º ESO2 U.D. 1.2 * 2º ESO DIVISIBILIDAD

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º ESO3 RELACIÓN DE DIVISIBILIDAD Hay relación de divisibilidad entre dos números naturales, a y b, cuando el mayor, a, contiene al menor, b, una cantidad exacta de veces. Entonces se dice que a es divisible por b. Ejemplos: 15 es divisible por 3 Pues 15 contiene 5 veces al 3 20 es divisible por 5 Pues 20 contiene 4 veces al 5 12 es divisible por 3 Pues 12 contiene 4 veces al 3 25 es divisible por 5 Pues 25 contiene 5 veces al 5

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º ESO4 RELACIÓN DE DIVISIBILIDAD Ejemplos prácticos: Con los 23 alumnos de una clase queremos formar equipos de 5 jugadores para que todos puedan jugar al baloncesto. ¿Lo podrá hacer? No, puesto que entre 23 y 5 no hay relación de divisibilidad. Al dividir 23 entre 5 da 4 de cociente y 3 de resto. División no exacta. Con los 90 alumnos de 1º ESO queremos formar equipos de 11 jugadores para que todos puedan jugar al fútbol. ¿Lo podrá hacer? No, puesto que entre 90 y 11 no hay relación de divisibilidad. Al dividir 90 entre 11 da 8 de cociente y 2 de resto. División no exacta. Los 20 alumnos de 1º Bachillerato quieren formar equipos de 4 jugadores para jugar todos al mus. ¿Lo podrá hacer? Sí, puesto que entre 20 y 4 hay relación de divisibilidad. Al dividir 20 entre 4 da 5 de cociente y 0 de resto. División exacta.

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º ESO5 Múltiplos y divisores Un número natural, b, es divisor de otro, a, cuando la división a:b es exacta a:b = c => b es divisor de a Un número natural, a, es múltiplo de otro, b, si al multiplicar b por un número natural se obtiene a como resultado b.c = a => a es múltiplo de b Si la división de dos números naturales, a : b, es exacta, es decir, si hay relación de divisibilidad entre ellos, entonces b es un divisor de a y, recíprocamente, a es un múltiplo de b. Ejemplo: 15 : 3 = 5 3 es un divisor de 15 15 es un múltiplo de 3

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º ESO6 Múltiplos y divisores Dados dos números naturales, a y b, se dice que “a es divisible por b”, o que “a es múltiplo de b”, o que “b es divisor de a”, si la división a:b es exacta. EJEMPLO 45 = 3.3.5 = 9.5 = 3.15 Podemos decir: “45 es divisible por 3” “45 es divisible por 5” “45 es divisible por 9” “45 es divisible por 15”

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º ESO7 También: “45 es múltiplo de 3” “45 es múltiplo de 5” “45 es múltiplo de 9” “45 es múltiplo de 15” Y también: “3 es divisor de 45” “5 es divisor de 45” “9 es divisor de 45” “15 es divisor de 45”

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º ESO8 PROPIEDADES PROPIEDADES DE MÚLTIPLOS Todo número es múltiplo de sí mismo. 7.1 = 7 Todo número es múltiplo de 1. 5.1 = 5 El 0 es múltiplo de cualquier número. 0.3 = 0 Todo número tiene infinitos múltiplos. M(5)={0, 5, 10, 15, 20, …}

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º ESO9 PROPIEDADES PROPIEDADES DE DIVISORES Todo número es divisor de sí mismo. 5 : 5 = 1 El 1 es divisor de cualquier número. 7 : 1 = 7 El 0 no es divisor de ningún número. 3 : 0 = No se puede El conjunto de los divisores de un número es finito. D(12)={1, 2, 3, 6, 12}

10 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º ESO10 CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Entre 2 2Todos los números terminados en 0 o en cifra par. 10 14 100 72 1000 10104 96 111111111111111112

11 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º ESO11 CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Entre 3 3Todo número cuya suma de sus cifras sea múltiplo de 3 102, pues 1+0+2 = 3  102 : 3 = 34 120, pues 1+2+0 = 3  120 : 3 = 40 201, pues 2+0+1 = 3  201 : 3 = 67 501, pues 5+0+1 = 6  501 : 3 = 167 105, pues 1+0+5 = 6  105 : 3 = 35 702, pues 7+0+2 = 9  702 : 3 = 234 111111111, pues 1+1+1+1+1+1+1+1+1 = 9  111111111 : 3 = 37037037

12 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º ESO12 CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Entre 4 4Todo número cuyas dos últimas cifras formen un múltiplo de 4 104, pues 104 : 4 = 26 704, pues 704 : 4 = 176 908, pues 908 : 4 = 227 1112, pues 1112 : 4 = 278 77744, pues 77744 : 4 = 19436

13 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º ESO13 CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Entre 5 5Todo número que termine en 0 o en 5 110, pues 110 : 5 = 22 115, pues 115 : 5 = 23 1710, pues 1710 : 5 = 342 77775, pues 77775 : 5 = 15555 10000005, pues 10000005 : 5 = 2000001

14 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º ESO14 CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Entre 6 6Todo número múltiplo de 2 y de 3 a la vez 12, pues 12 : 2 = 6 y 12 : 3 = 4 102, pues 102 : 2 = 51 y 102 : 3 = 34 192, pues 192 : 2 = 96 y 192 : 3 = 64 1212, pues 1212 : 2 = 66 y 1212 : 3 = 404 714, pues 714 : 2 = 357 y 714 : 3 = 236

15 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º ESO15 CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Entre 7 7Todo número que al suprimir la cifra de las unidades y restar del número que queda el doble de la cifra suprimida, se obtenga un múltiplo de 7 105 10 – 2.5 = 10 – 10 = 0, que es múltiplo de 7 105 : 7 = 15 476 47 – 2.6 = 47 – 12 = 35, que es múltiplo de 7 476 : 7 = 68 1134 113 – 2.4 = 113 – 8 = 105, que es múltiplo de 7 1134 : 7 = 162

16 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º ESO16 CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Entre 8, 9 y 10 8Todo número cuyas tres últimas cifras formen un múltiplo de 8 111000 797008 133213016 9Todo número cuya suma de sus cifras sea múltiplo de 9 711, pues 9 = 1.9 7839, pues 27 = 3.9 202020202020202, pues 18 = 2.9 10Todo número que termine en 0. 10330 9777980 1111310

17 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º ESO17 CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD 11Todo número en el cual el valor absoluto de la diferencia de la suma de las cifras de lugar par e impar sea múltiplo de 11 495 9=9, 4+5 = 9  9 – 9 = 0 Verificamos: 495 : 11 = 45 8195 8+9=17, 1+5 = 6  17 – 6 = 11 Verificamos: 8195 : 11 = 745 91993 9+9+3=21, 1+9 = 10  21 – 10 = 11 Verificamos: 91993 : 11 = 8363