Unidad 2 Capítulo II Ecuaciones no lineales

U-2. Cap. II. Ecuaciones de primer orden no lineales El estudio analítico de ecuaciones no lineales se limita a cierto tipo de ecuaciones diferenciales para los cuales se dispone de métodos de resolución exactos. Algunas ecuaciones no lineales se pueden transformar en lineales mediante es uso de algunas aproximaciones que dan resultados razonablemente aceptables. Cuando una ecuación no lineal no pueda resolverse en forma analítica ni transformarse en una lineal, el mejor medio para obtener su solución consiste en usar métodos numéricos, discusión fuera del alcance de estas notas.

Si existiera, ¿cómo saber que tal solución es única? U-2. Cap. II. Ecuaciones de primer orden no lineales Antes de intentar resolver un problema de valor inicial no lineal es conveniente responder dos preguntas: ¿Cómo se puede saber si la solución de tal problema existe en una región específica? Si existiera, ¿cómo saber que tal solución es única? Por esto, es recomendable verificar si existe una solución en la región de interés antes de intentar resolverlo y confirmar la unicidad de tal solución en una región específica, mediante el teorema de unicidad y existencia de la solución de una ecuación diferencial de primer orden no lineal siguiente:

U-2. Cap. II. Ecuaciones de primer orden no lineales Si f (x, y) es una función continua en un rectángulo D que contiene un punto (x0, y0), entonces la ecuación diferencial de primer orden con tiene, por lo menos, una solución en un subintervalo de D que incluye el punto (x0, y0) y ésta es única si la derivada parcial  f / y también es continua en D.

U-2. Cap. II. Ecuaciones de primer orden no lineales Este teorema señala las condiciones suficientes para que un problema de valor inicial no lineal tenga una solución única en algún intervalo. Por lo tanto, aun cuando algún problema no satisfaga las condiciones del teorema, puede tener una solución única. Aunque las condiciones del teorema parecen ser muy restrictivas, cualquier ecuación diferencial que describa exactamente un problema físico con una solución única las cumple.

U-2. Cap. II. Ecuaciones de primer orden no lineales El teorema establece las condiciones bajo las cuales una ecuación diferencial no lineal de primer orden posee una solución única, pero no indica cómo encontrarla ni cómo determinar la región en la cual existe. Las ecuaciones lineales generalmente dan soluciones que contienen todas las posibles respuestas, lo que no es el caso de las ecuaciones no lineales en general. Las soluciones de las ecuaciones no lineales se expresan frecuentemente de manera implícita, es decir, que no es posible escribirlas en términos de la variable.