Álgebra II ACOMPAÑAMIENTO ANUAL MT 21 PPTCADMTTEA05008V3 Propiedad Intelectual Cpech

Aprendizajes esperados Reconocer y resolver productos notables. Interpretar geométricamente productos notables. Factorizar expresiones algebraicas. Dividir expresiones algebraicas simples. Determinar m.c.m. algebraico entre expresiones.

Contenidos Álgebra II Operatoria de Productos expresiones notables algebraicas Factorización

Productos notables Son aquellos cuyos factores cumplen con ciertas características que permiten llegar al resultado, sin realizar todos los pasos de la multiplicación. 1) Cuadrado de binomio (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Ejemplos: 1) (3x + y)2 = (3x)2 + 2 · 3x · y + (y)2 = 9x2 + 6xy + y2 2) (2p – 5q)2 = (2p)2 – 2 · 2p · 5q + (5q)2 = 4p2 – 20pq + 25q2

Al calcular las áreas de ambos cuadrados se tiene: Productos notables Podemos entender geométricamente el cuadrado de binomio, utilizando cuadrados divididos a b b a 2 Al calcular las áreas de ambos cuadrados se tiene: (a + b)·(a + b) = a2 + 2ab + b2

Productos notables 2) Suma por su diferencia (a + b)(a – b) = a2 – b2 Ejemplos: (7p + 4q)(7p – 4q) = (7p)2 – (4q)2 = 49p2 – 16q2

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + a · b Productos notables 3) Producto de binomios con un término común (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + a · b Ejemplos: 1) (x + 4)(x – 6) = x2 + (4 – 6)x + 4 · (– 6) = x2 – 2x – 24 2) (x – 2)(x – 8) = x2 + (– 2 – 8)x + (– 2) · (– 8) = x2 – 10x + 16

Factorización Consiste en escribir una expresión algebraica en forma de multiplicación. Existen distintas formas de factorizar, entre ellas: • Factor común monomio Se aplica para factorizar expresiones en la cual todos los términos tienen un factor en común (puede ser número, letra, o una combinación de los dos). Ejemplo: 4ab2 + 10a2b2 – 8a3b2 = 2 · 2 · a · b2 + 5 · 2 · a · a · b2 – 4 · 2 · a · a2 · b2 2 · 2 · a · b2 + 5 · 2 · a · a · b2 – 4 · 2 · a · a2 · b2 = 2ab2 (2 + 5a – 4a2) = 2ab2 (2 + 5a – 4a2)

Factorización • Factor común polinomio Cuando en una expresión algebraica, NO todos los términos tienen un factor común, a veces se pueden agrupar convenientemente obteniéndose factores comunes en cada grupo. Ejemplo: ab2 + cb2 + ad2 + cd2 = (ab2 + cb2) + (ad2 + cd2) = b2 (a + c) + d2 (a + c) = (a + c) (b2 + d2)

Factorización • Reconocer productos notables 1) 4x2 – 64y2 = (2x + 8y)(2x – 8y) Corresponde a una suma por su diferencia 2) x2 + 7x + 12 = (x + 4)(x + 3) Corresponde a un producto de binomios con un término común.

División Para dividir expresiones algebraicas es necesario expresarlas mediante productos, es decir, factorizar. Ejemplo: Si p – 2q  0, entonces: = p2 – 4q2 p – 2q (p + 2q)(p – 2q) (p – 2q) = p + 2q ¡ Error común ! (x – 4) (x – 5)

División Ejemplo: Si x2 – y2  0, entonces (x + y)(x – y) : 1 x – y (x + y)2 x2 – y2 : 1 x – y = (x + y) (x – y) 1 x – y : = (x + y) (x – y) 1 x – y = ∙ = (x + y)

Mínimo común múltiplo • Entre monomios Corresponde a cada factor literal con su mayor exponente. Ejemplo: El m.c.m. entre 4xy3 , 12x2y2 y 18x3y4 es: 36x3y4 • Entre polinomios Es equivalente al m.c.m. entre monomios, pero hay que factorizar previamente. Ejemplo: El m.c.m. entre (a2 – b2) y (a2 – 2ab + b2). Factorizando: (a2 – b2) = (a + b)(a – b) (a2 – 2ab + b2) = (a – b)2 Por lo tanto, el m.c.m. es (a + b)(a – b)2. Por lo tanto, el m.c.m. es (a + b)(a – b)2.

Ejemplo 1. Si x  0, entonces: 1 2x + 3x 6x = (Aplicando m.c.m.) 6x 3 + 2 + 1 = 6x 6 = (Simplificando) x 1 Por lo tanto, el m.c.m. es (a + b)(a – b)2.

Ejemplo 2. Si x  y y x  – y , entonces: (x + y) (Aplicando m.c.m.) + = (Aplicando m.c.m.) = (x + y)2 + (x – y)2 (x – y)(x + y) (Desarrollando) = x2 + 2xy + y2 + x2 – 2xy + y2 (x – y)(x + y) (Reduciendo términos semejantes) 2x2 + 2y2 (x2 – y2) Por lo tanto, el m.c.m. es (a + b)(a – b)2.

Apliquemos nuestros conocimientos 1. Si el lado de un cuadrado es (a + 3), con a > 0, entonces la expresión que representa su área es A) a2 + 6a + 9 B) a2 + 3a + 9 C) a2 + 9 D) a2 + 6 E) ninguna de las expresiones anteriores.   ¿Cuál es la alternativa correcta?

A Apliquemos nuestros conocimientos Habilidad: Aplicación Resolución: El área de un cuadrado es (lado)2, entonces: Área cuadrado = (a + 3)2 (Desarrollando) Área cuadrado = a2 + 2 · a · 3 + 32 Área cuadrado = a2 + 6a + 9 A Habilidad: Aplicación

Apliquemos nuestros conocimientos 2. A un cuadrado de lado (p+q) se le corta un cuadrado de lado p en una esquina, como muestra la figura. Si p > 0 y q > 0, entonces la expresión que representa el área achurada es A) 2p B) q2 C) pq + q2 D) 2pq + q2 E) ninguna de las expresiones anteriores. (p + q) p ¿Cuál es la alternativa correcta?

D Apliquemos nuestros conocimientos Habilidad: Aplicación Resolución: (p + q) p Habilidad: Aplicación Área achurada = Área del cuadrado mayor – área del cuadrado menor Área achurada = (p + q)2 – p2 (Desarrollando) Área achurada = p2 + 2pq + q2 – p2 (Reduciendo términos semejantes) Área achurada = 2pq + q2

Apliquemos nuestros conocimientos 3. Si m2 + n2 = 37 y m · n = 12, entonces el valor de (m – n)2 es A) 13 B) 29 C) 37 D) 61 E) faltan datos para determinarlo. ¿Cuál es la alternativa correcta?

Si m2 + n2 = 37 y m · n = 12, entonces: Apliquemos nuestros conocimientos Resolución: Si m2 + n2 = 37 y m · n = 12, entonces: (m – n)2 = (Desarrollando) m2 – 2mn + n2 = (Reordenando) (Reemplazando) m2 + n2 – 2mn = (Multiplicando) 37 – 2 · 12 = 37 – 24 = A 13 Habilidad: Análisis

Apliquemos nuestros conocimientos 4. Sea x ≠ 0, al simplificar la expresión resulta   A) B) C) D) E) x – 3xy 5x 1 – 3xy 5 1 – 3y x – 3y – 2x – 2y ¿Cuál es la alternativa correcta?

B Apliquemos nuestros conocimientos Habilidad: Aplicación Resolución: x – 3xy 5x = (Factorizando el numerador) x(1 – 3y) 5x = (Simplificando) 1 – 3y 5 B Habilidad: Aplicación

Apliquemos nuestros conocimientos 5. Si (x2 – 121) ≠ 0, entonces la expresión es igual a A) B) C) D) E) ninguna de las expresiones anteriores. x + 3 x + 11 x2 – 14x + 33 x2 – 121 x – 11 x – 3 x + 11 x – 11 ¿Cuál es la alternativa correcta?

C Apliquemos nuestros conocimientos Habilidad: Aplicación Resolución: x2 – 14x + 33 x2 – 121 = (Factorizando) (x – 11) (x – 3) (x + 11)(x – 11) = (Simplificando) x – 3 x + 11 C Habilidad: Aplicación

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