DETECCION DE SEÑALES BINARIAS EN RUIDO GAUSSIANO

DETECCION DE SEÑALES BINARIAS EN RUIDO GAUSSIANO El criterio de toma de decisión fue descrito por la ecuación Un criterio muy usado para escoger el nivel de umbral para la decisión binaria esta basada en la minimización de la probabilidad de error. Los cálculos para este valor de error mínimo de comienzan con la formación de una expresión de desigualdad entre la razón de función densidad de probabilidad condicional contra las probabilidades a priori de la señal.

La función de densidad condicional es además llamada la posibilidad de , la formula es llamada la prueba de relación de posibilidad. En esta desigualdad, y son las probabilidades a priori de que y , respectivamente, sean transmitidas, y y son las dos posibles hipótesis. La regla para minimizar la probabilidad de error manifiesta que debemos escoger la hipótesis si la relación de posibilidad es mayor que la relación de una probabilidad a priori.

Si es igual a y si las posibilidades Son simétricas, tenemos que Donde es la componente de señal de cuando es transmitida, y es la componente de señal de cuando es transmitida. El nivel de umbral representado por es el umbral óptimo para minimizar la probabilidad de tomar una decisión incorrecta para este caso especial. Esta estrategia es conocida como criterio del error mínimo.

Para señales que tienen igual probabilidad, el umbral mínimo transcurre a través de la intersección de las funciones de posibilidad. De esta manera la etapa de decisión selecciona de manera efectiva la hipótesis que corresponde a la señal con la máxima posibilidad.

Por ejemplo, dado un valor de salida arbitrario del detector, para el cual hay una posibilidad diferente de cero que pertenezca a una de dos clases de señal ó , se puede tomar la prueba de posibilidad como una comparación de los valores de posibilidad y . La señal correspondiente a la máxima PDF es escogida como la más probable de haber sido transmitida. En otras palabras el detector escoge si

De lo contrario el detector escoge De lo contrario el detector escoge . Un detector que minimiza la probabilidad de error (para el caso donde las señales son igualmente probables) se conoce también como Detector de Máxima Posibilidad. Dado el valor de salida del detector, vemos en la figura que intersecta la posibilidad de en un valor , y a su vez intersecta a en un valor .

Cual es la decisión más razonable para el detector Cual es la decisión más razonable para el detector? Para este ejemplo, escoger la clase , la cual tiene la mayor posibilidad, es la escogencia más sensata. Si fuera un ejemplo M-ario, en lugar de uno binario, habría un total de M funciones de posibilidad representando las M clases de señales a las cuales una señal recibida puede pertenecer. La decisión de máxima posibilidad escogerá la clase que tenga la mayor posibilidad de todas las M posibilidades.

Probabilidad de Error Para la toma de decisión binaria, hay dos formas en las cuales pueden ocurrir errores. Un error ocurrirá cuando es enviado y el ruido del canal ocasiona que la señal de salida del receptor sea menor que . La probabilidad de tal ocurrencia: Esto es ilustrado mediante el área sombreada a la izquierda de . De manera similar, ocurre un error cuando se envía y el ruido en el canal ocasiona que sea mayor que .

La probabilidad de tal ocurrencia es: La probabilidad de un error es la suma de las probabilidades de todas las formas de error que pueden ocurrir. Para el caso binario, podemos expresar la probabilidad de error de bit como Combinando las ecuaciones (3.34) a (3.36) tenemos

O equivalentemente Dado que la señal fue transmitida, se presenta un error si la hipótesis resulta escogida; o el caso contrario. Para el caso donde las probabilidades a priori son iguales, es decir que Y debido a la simetría de las funciones densidad de probabilidad

La probabilidad de un error de bit, , es numéricamente igual al área bajo la “cola” de una de las dos funciones de posibilidades, ó , cayendo en el lado incorrecto del umbral. Se puede por lo tanto calcular integrando entre los límites y ó integrando entre los límites e : Aquí, es el umbral óptimo de la ecuación (3.32). Reemplazando la posibilidad con su equivalente Gaussiano de la ecuación (3.6):

Haciendo y tenemos: Donde es llamada la función de error complementario ó función co-error, es un símbolo comúnmente usado para la probabilidad de error bajo la cola de la PDF gaussiana. Es definida como:

OPTIMIZACION DEL DESEMPEÑO DE ERROR

Optimizando el Desempeño del Error Para optimizar (minimizar) en el contexto de un canal AWGN necesitamos seleccionar el filtro de recepción óptimo en el paso 1 y el umbral de decisión óptimo en el paso 2. Para el caso binario el umbral de detección óptima fue escogido como: Lo cual resulta en: Para minimizar es necesario escoger el filtro (filtro acoplado) que maximiza el argumento de .

Por lo tanto se debe determinar el filtro lineal que maximiza ó equivalentemente que maximiza: Donde es la diferencia de las componentes de señal deseadas a la salida del filtro en , y el cuadrado de esta diferencia de señales es la potencia instantánea de dicha diferencia. Se describió un filtro acoplado como aquel que maximiza en su salida la relación señal a ruido (SNR) para una señal conocida. Para señalización binaria el filtro óptimo es aquel que maximiza la diferencia entre dos posibles señales de salida.

Un filtro acoplado logra la máxima SNR a la salida en Un filtro acoplado logra la máxima SNR a la salida en . Si el filtro esta acoplado a la diferencia de señal , podemos escribir una salida SNR en el tiempo como: Donde es la densidad espectral de potencia del ruido a la entrada del filtro, y es la energía de la diferencia de señal a la entrada del filtro.

La ecuación no representa la SNR para ninguna transmisión, ó La ecuación no representa la SNR para ninguna transmisión, ó . Esta SNR entrega una medida de diferencia de señal para la salida del filtro. Maximizando la salida SNR de la ecuación , el filtro acoplado proporciona la máxima distancia (normalizada por el ruido) entre las dos salidas candidatas: la señal y la señal .

Combinando y tenemos: Para el filtro acoplado, esta ecuación es un resultado importante en términos de la energía de la diferencia de señal en la entrada del filtro. A partir de esta ecuación se pueden desarrollar relaciones más generales en términos de la energía de bit recibida.

Se define el coeficiente de correlación cruzada, , como una medida de similitud entre dos señales, y . y donde . La ecuación es la forma matemática clásica de expresar la correlación

Sin embargo, cuando y son miradas como vectores de señal, y respectivamente, entonces se puede expresar de una manera más conveniente mediante . Esta mirada vectorial nos proporciona una imagen muy útil. Los vectores y están separados por el ángulo ; para separaciones angulares pequeñas, los vectores son bastante similares (altamente correlacionados) entre ellos, y para separaciones grandes, ellos serán bastante distintos. El coseno de este ángulo nos da la misma medida normalizada de la correlación que la ecuación .

Expandiendo tenemos: No olvidemos que cada uno de los dos primeros términos de la ecuación anterior representan la energía asociada con un bit; esto es:

Sustituyendo las ecuaciones y en : Y sustituyendo esta en obtenemos: Consideremos el caso de correspondiente a señales y que están perfectamente correlacionadas sobre un intervalo de símbolo (dibujados como vectores, y con el ángulo entre ellos igual a cero).

Podremos usar estas formas de onda para señalización digital Podremos usar estas formas de onda para señalización digital? La respuesta es no, porque las señales de comunicación necesitan ser tan dispares como sea posible, de tal manera que se puedan distinguir (detectar) fácilmente. El caso de corresponde a la situación en que y están “anticorrelacionadas” sobre un tiempo de símbolo. En otras palabras, el ángulo entre los vectores de señal es de .

En este caso, donde los vectores son imágenes espejo, llamamos a la señales antípodas, como se muestra abajo En el caso de , correspondiente a correlación cero entre y (el ángulo entre los vectores es ). A estas señales se les llama ortogonales, como se aprecia en la figura de abajo.

Para que dos formas de onda sean ortogonales, ellas no deben estar correlacionadas sobre un intervalo de símbolo: Para el caso de detección de señales antípodas ( ) con un filtro acoplado, la ecuación puede reescribirse como:

De manera similar, para el caso de detección de señales ortogonales ( ) con un filtro acoplado se puede escribir como: Las figuras 1 y 2 mostradas anteriormente, donde las magnitudes de las señales son cada una iguales a ayudan a ilustrar que el desempeño del error descrito por las ecuaciones y es una función de la distancia entre y (entre mayor sea la distancia, menor será ) .

Cuando las señales son antípodas, como en la , la distancia entre ellas es , y la energía asociada con la distancia está caracterizada por el cuadrado de la distancia, ó . Cuando sustituimos en la ecuación , el resultado es la ecuación . Cuando las señales son ortogonales, como en la , la distancia entre ellos es y entonces . Cuando sustituimos esta última en la ecuación el resultado es la ecuación

Desempeño de la Probabilidad de Error de la Señalización Binaria Señalización Unipolar La Figura 3 es un ejemplo de señalización ortogonal banda base, denominada señalización unipolar, donde: para 1 binario para 0 binario

Y donde es la amplitud del símbolo Y donde es la amplitud del símbolo . La definición de señalización ortogonal descrita por la ecuación requiere que y tengan correlación cero sobre cada duración de tiempo de símbolo. Debido a que en la ecuación , es igual a cero durante el tiempo de símbolo, este conjunto de pulsos unipolares claramente cumple a cabalidad la condición mostrada en la ecuación , y por lo tanto, forman un conjunto de señales ortogonales.

El correlator mostrado en la figura 4, puede ser usado para detectar los pulsos de señalización unipolar mostrados en la figura 3. El correlator multiplica e integra la señal entrante con la diferencia entre las señales prototipo, Después de una duración de símbolo , un muestreador produce la prueba estadística , la cual es entonces comparada con el umbral .

Para el caso de , más el AWGN que esta siendo recibido, esto es , la componente de señal de es encontrada mediante: Donde es el valor esperado de , dado que se envió . De lo anterior se sigue que . Similarmente, cuando , entonces:

En este caso, el umbral óptimo de decisión está dado por: Si la prueba estadística es mayor que , la señal es declarada para que sea ; de otra forma se declara como

La energía de diferencia de señal esta dada por La energía de diferencia de señal esta dada por . Entonces, el desempeño de error de bit a la salida se obtiene como: Donde, para el caso de señalización igualmente probable, la energía promedio por bit es .

Señalización Bipolar La figura 5 ilustra un ejemplo de señalización de señalización antípoda banda base, llamada señalización bipolar, donde; para 1 binario para 0 binario El término antípoda se refiere a señales binarias que son imágenes espejo la una de la otra. Es decir, que .

Un receptor correlator para estas formas de onda antípodas se muestra en la figura 6. Un correlator multiplica e integra la señal entrante con la señal prototipo . El segundo correlator multiplica e integra con

La figura superior captura la esencia de la función principal de un receptor digital. Esto es, durante cada intervalo de símbolo, una señal de entrada ruidosa es enviada bajo múltiples “caminos” en un esfuerzo por correlacionarla con cada una de las posibles candidatas. El receptor entonces busca el voltaje de salida mayor (el más concordante) para hacer una detección.

Para el ejemplo binario hay solo dos posibles candidatos Para el ejemplo binario hay solo dos posibles candidatos. Para un ejemplo 4-ario habrá cuatro candidatas. El test estadístico formado de la diferencia de la salida del correlator es: Y la decisión se toma usando el umbral mostrado en la ecuación . Para señales antípodas por lo tanto . De esta manera, si la prueba estadística es positiva, la señal es declarada para ser , y si es negativa, es declarada para ser .

La señal de diferencia de energía se obtiene que Entonces el desempeño de error de bit a la salida puede ser obtenido como: Donde la energía promedio por bit esta dada por

Descripción de señalización con funciones bases Descripción de señalización con funciones bases. En lugar de designar a las como las señales referencia en el correlator, podemos usar el concepto de funciones base. La señalización binaria con pulsos unipolares ó bipolares proporciona ejemplos simples acerca de esta consideración, ya que el espacio de señalización se puede describir mediante una función base. Si normalizamos el espacio de la ecuación Haciendo Tenemos que la función base es igual a

Para señalización de pulsos unipolares entonces tengo: Donde los coeficientes a11 y a21 serán: A√T y cero respectivamente. Para señalización de pulsos bipolares entonces tengo: Donde los coeficientes serán A √ T y -A√T.

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FIN