Tema IX Funciones Exponenciales y Logarítmicas Precálculo
Función Exponencial La función exponencial básica es f(x) = bx, donde la base b es una constante y el exponente x es la variable independiente. Exponente Base
Función Exponencial Consideremos la función f(x) = 2x x f(x) = 2x
Función Exponencial Consideremos la función f(x) = 2x x f(x) = 2x -2 -1 1 2 3
Función Exponencial Consideremos la función f(x) = 2x x f(x) = 2x -2 ¼ -1 1 2 3
Función Exponencial Consideremos la función f(x) = 2x x f(x) = 2x -2 ¼ -1 1 2 3
Función Exponencial Consideremos la función f(x) = 2x x f(x) = 2x -2 ¼ -1 ½ 1 2 3
Función Exponencial Consideremos la función f(x) = 2x x f(x) = 2x -2 ¼ -1 ½ 1 2 3
Función Exponencial Consideremos la función f(x) = 2x x f(x) = 2x -2 ¼ -1 ½ 1 2 3
Función Exponencial Consideremos la función f(x) = 2x x f(x) = 2x -2 ¼ -1 ½ 1 2 3
Función Exponencial Consideremos la función f(x) = 2x x f(x) = 2x -2 ¼ -1 ½ 1 2 3
Función Exponencial Consideremos la función f(x) = 2x x f(x) = 2x -2 ¼ -1 ½ 1 2 3
Función Exponencial Consideremos la función f(x) = 2x x f(x) = 2x -2 ¼ -1 ½ 1 2 4 3
Función Exponencial Consideremos la función f(x) = 2x x f(x) = 2x -2 ¼ -1 ½ 1 2 4 3
Función Exponencial Consideremos la función f(x) = 2x x f(x) = 2x -2 ¼ -1 ½ 1 2 4 3 8
Función Exponencial Consideremos la función f(x) = 2x x f(x) = 2x -2 ¼ -1 ½ 1 2 4 3 8
Función Exponencial Consideremos la función f(x) = 2x x f(x) = 2x -2 ¼ -1 ½ 1 2 4 3 8
Función Exponencial Consideremos la función f(x) = 2x x f(x) = 2x -2 ¼ -1 ½ 1 2 4 3 8
Función Exponencial Consideremos la función f(x) = 2x x f(x) = 2x -2 ¼ -1 ½ 1 2 4 3 8 Esta recta se conoce como una asíntota, una recta a la cual la función graficada se acerca a medida que los valores de x se hacen muy grandes o muy pequeños.
Función Exponencial
Graficando Funciones Exponenciales Determina si la función muestra crecimiento o decaimiento. Luego grafícala. f(x) = 1.5x
Graficando Funciones Exponenciales Determina si la función muestra crecimiento o decaimiento. Luego grafícala. g(x) = 30(0.8)x
Graficando Funciones Exponenciales Determina si la función muestra crecimiento o decaimiento. Luego grafícala. h(x) = 5(1.2)x
Graficando Funciones Exponenciales Determina si la función muestra crecimiento o decaimiento. Luego grafícala. f(x) = 10(3/4)x
Graficando Funciones Exponenciales Determina si la función muestra crecimiento o decaimiento. Luego grafícala. f(x) = 100(1.05)x
Crecimiento y Decaimiento Número de Periodos de Tiempo Cantidad Inicial Cantidad Final Razón de Cambio En la fórmula, la base de la expresión exponencial, 1 + r, es llamado el factor de crecimiento. Similarmente, 1 – r, es el factor de decaimiento.
Aplicaciones Tony compró una guitarra Gibson del 1959 por $12,000 en el año 2000. Los expertos estiman que su valor aumentará un 14% por año. Utiliza una gráfica para encontrar cuando el valor de la guitarra será $60,000.
Aplicaciones La población de una ciudad, la cual era inicialmente 15,500, ha ido disminuyendo a una razón de 3% al año. Escribe una función exponencial y grafica la función. Utiliza la gráfica para predecir cuando la población llegará a los 8,000.
Graficando Relaciones Inversas Grafica la relación y conecta los puntos. Luego grafica la inversa. Identifica el dominio y el alcance. x 1 2 4 8 y 5 6 7
Graficando Relaciones Inversas Grafica la relación y conecta los puntos. Luego grafica la inversa. Identifica el dominio y el alcance. x 1 3 4 5 6 y 2
Graficando Relaciones Inversas Grafica la relación y conecta los puntos. Luego grafica la inversa. Identifica el dominio y el alcance. x 1 5 8 9 y 2 6
Escribiendo Funciones Inversas
Escribiendo y Graficando Funciones Inversas
Escribiendo y Graficando Funciones Inversas
Escribiendo y Graficando Funciones Inversas
Aplicaciones Juan compró un CD por Internet con un 20% de descuento del precio regular. El pagó $2.50 por el envío. El cargo total fue $13.70 ¿Cuál es el precio regular del CD?
Logaritmos Un logaritmo es el exponente al cual se eleva una base específica para obtener un valor dado. Puedes escribir una ecuación exponencial como una logarítmica y viceversa. Ecuación Exponencial Ecuación Logarítmica
Escribe cada ecuación exponencial en forma logarítmica
Propiedades Especiales de Logaritmos FORMA LOGARÍTMICA FORMA EXPONENCIAL EJEMPLO Logaritmo de Base b Logaritmo de 1
Evaluando Logaritmos Mentalmente
Propiedad de Producto de Logaritmos
Propiedad de Producto de Logaritmos Expresa como un solo logaritmo. Simplifica si es posible. log5625 + log525 log42 + log432 log64 + log69
Propiedad de Cociente de Logaritmos
Propiedad de Cociente de Logaritmos Expresa como un solo logaritmo. Simplifica si es posible. log232 – log24 log749 – log77 log5100 – log54
Propiedad de Potencia de Logaritmos
Propiedad de Potencia de Logaritmos Expresa como un producto. Simplifica si es posible. log3812 log5(1/5)3 log2326 log5252
Propiedades Inversas de Logaritmos Álgebra Ejemplo
Propiedades Inversas de Logaritmos Simplifica cada expresión. log883x + 1 log5125 log3311 log381
Propiedades Inversas de Logaritmos Simplifica cada expresión.
Fórmula de Cambio de Base
Fórmula de Cambio de Base Evalúa las siguientes expresiones. log927 log816 log328
Ecuación Exponencial Una ecuación exponencial es una ecuación que contiene una o más variables como un exponente. Para resolver ecuaciones exponenciales puedes utilizar lo siguiente:
Resolviendo Ecuaciones Exponenciales
Resolviendo Ecuaciones Exponenciales
Ecuaciones Logarítmicas Una ecuación logarítmica es una ecuación con una expresión logarítmica que contiene una variable. Para resolver ecuaciones logarítmicas puedes utilizar lo siguiente:
Resolviendo Ecuaciones Logarítmicas
Resolviendo Ecuaciones Logarítmicas
Resolviendo Ecuaciones Logarítmicas
Fórmula de Interés Compuesto Donde: A es la cantidad total, P es el principal, r es la taza de interés anual, n es la cantidad de veces que el interés es compuesto al año y t es el tiempo en años.
Interés Continuo Asume que se invierte $1 a un 100% de interés (r = 1) compuesto n veces en un año. Lo cual puede ser representado por la función:
Interés Continuo A medida que n se vuelve un número grande, el interés es compuesto continuamente. Examinemos la gráfica de f(n).
Interés Continuo A medida que n se vuelve un número grande, el interés es compuesto continuamente. Examinemos la gráfica de f(n).
El número natural e
Graficando Funciones Exponenciales
Graficando Funciones Exponenciales
Logaritmo Natural
Simplificando Expresiones con e o ln
Fórmula de Interés Compuesto Continuamente Donde: A es la cantidad total, P es el principal, r es la taza de interés anual, t es el tiempo en años.
Aplicaciones a Economía ¿Cuál es la cantidad total para una inversión de $1000 invertido al 5% durante 10 años compuesto continuamente? ¿Cuál es la cantidad total para una inversión de $100 invertido al 3.5% por 8 años y compuesto continuamente?
Media – Vida La media – vida de una sustancia es el tiempo que le toma a la mitad de la sustancia descomponerse o convertirse en otra sustancia durante el proceso de decaimiento. El proceso de decaimiento natural está modelado por la siguiente función. Cantidad inicial Tiempo Cantidad restante Constante de decaimiento
Aplicación a Paleontología Un paleontólogo descubre un fósil de un tigre dientes de sable en California. El analiza el fósil y concluye que el espécimen contiene 15% de su carbono-14 original. El carbono-14 tiene una media vida de 5730 años. Determina la edad del fósil. Determina cuanto le tomaría a una muestra de 650 mg de cromio-51, el cual tiene una media vida de 28 días, para decaer a 200 mg.