RADICALES Y LOGARITMOS

Presentación del tema: "RADICALES Y LOGARITMOS"— Transcripción de la presentación:

1 RADICALES Y LOGARITMOS
U.D. 2 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

2 APLICACIONES DE POTENCIAS Y LOGARITMOS
U.D * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

3 Presencia y Aplicaciones
Las potencias, cuando su variable o incógnita es la base, dan lugar a polinomios o ecuaciones polinómicas como veremos. Igualmente, cuando su variable o incógnita es el exponente, dan lugar a ecuaciones o funciones exponenciales como veremos. Algunas aplicaciones de potencias y logaritmos: 1.- La función exponencial en la Economía: Interés compuesto, en Capitalización y Amortización de préstamos. 2.- La función exponencial y sus aplicaciones en la Estadística: Crecimiento y declive de una población. 3.- La función exponencial y sus aplicaciones en Sanidad: Plagas, epidemias, efectividad de los fármacos. 4.- La función exponencial y sus aplicaciones en la Energía: Productividad y polución atmosférica, en la Física y en la Química. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

4 INTERÉS COMPUESTO En el interés compuesto, tras cada periodo de tiempo, (t) el interés ( r) producido por el dinero que prestamos se acumula al capital ( C) para producir nuevos intereses en el periodo siguiente. Al final del primer periodo: Cf = C + C.r Al final del segundo periodo: Cf = (C + C.r) + (C + C.r).r Sacando factor común a (C+C.r) tenemos: Cf = (C + C.r).(1+r) = C.(1+r).(1+r) = C.(1+r)2 Al final del tercer periodo: Capital final = C.(1+r)2 + C.(1+r)2 .r Sacando factor común a C.(1+r) tenemos: Cf = C.(1+r)2.(1+ r) = C.(1+ r)3 Al cabo de t periodo tendremos: Cf = C.(1+r)t Tenemos f (t) = k. at , que es una función exponencial @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

5 POBLACIONES Ya sean personas, animales, árboles o bacterias, el crecimiento o disminución de una población sigue las leyes de una función exponencial, que no es otra cosa que una progresión geométrica expresada en forma de función. Una población que tiene inicialmente N individuos y que crece a razón de un p % anual, al cabo de t años se convierte en Nt individuos, donde: Nt = N.(1+(p/100))t Ejemplo 1 Queremos repoblar de conejos una reserva natural, para lo cual implantamos una población de 50 elementos. Si sabemos que crecen a razón de un 150 % anual, ¿qué población tendremos al cabo de 5 años?. ¿Y al cabo de 10 años?. Al cabo de 5 años tendremos: Nt = 50.(1+(150/100))5 = 4883 Al cabo de 10 años tendremos: Nt = 50.(1+(150/100))10 = Nota: En 5 años pasamos de a medio millón. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

6 p = 200 % es el aumento, pues cada persona infecta a 2 sanas.
Ejemplo 2 Una peligrosa bacteria ha infectado a 7 personas. Cada día que un individuo infectado esté en contacto con otras personas sanas se infectan 2 individuos. Si no se ponen en cuarentena a los infectados, ¿cuántas personas estarán infectadas en una semana?. ¿Y en un mes? Está claro que la población infectada aumenta en progresión geométrica. Nt = N.(1+(p/100))t N = 7 personas iniciales. p = 200 % es el aumento, pues cada persona infecta a 2 sanas. Al cabo de una semana: Nt = 7.(1+(200/100))7 = personas Al cabo de un mes: Nt = 7.(1+(200/100))30 = 1,5.1015 Nota: En una semana una ciudad, en dos semanas un país, y antes de tres semanas todo el planeta. Se puede comprobar. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

7 Plaga de ratas En un parque público hay una población de 200 roedores.
Sabemos que se reproducen de forma exponencial. Al mes, la población es de 300 roedores. ¿Qué población habrá a los 3 meses de no poner ningún freno a su expansión demográfica? ¿Y al año? La población vendrá dada en todo momento por la expresión (función): P = Po.ax Al mes (x=1) tenemos: 300 = 200.a1, de donde a = 300/200 = 1,50 A los 3 meses (x=3): P = 200.(1,50)3 = 675 roedores. Al año (x=12): P = 200.(1,50)12 = @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

8 La población mundial Un grupo de expertos en demografía tras estudiar el crecimiento de la población mundial, ha establecido que esta población, y, en función del año correspondiente, x, puede expresarse según la siguiente ecuación: y = 100,00389.x+2 a) En qué año la población alcanzó los mil millones?. b) ¿Y los 3 mil millones? Resolución a) = 100,00389.x+2 Aplicando logaritmos: log 109 = log 100,00389.x+2 9. log 10 = (0,00389.x + 2).log 10  9 = 0,00389.x + 2  x = 1799 b) = 100,00389.x+2 Aplicando logaritmos: log = log 100,00389.x+2 log log 10 = (0,00389.x + 2).log 10  0, = 0,00389.x + 2  x = 1922 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

9 Depreciación de un valor
Con el paso del tiempo hay muchos bienes que pierden su valor, y dicha pérdida de valor sigue una proyección exponencial. Un bien que posee inicialmente un valor de V y que disminuye a razón de un p % anual, al cabo de t años vale Vt , donde: Vt = V.(1 – (p/100))t Ejemplo 1 Un coche nos costó €. Se estima que cada año su valor se deprecia un 15%. ¿Qué valdrá al cabo de 1 año?. ¿Y de 3 años?. ¿Y de 10 años?. ¿Y de 20 años?. Al cabo de 1 año valdrá Vt = (1 – 0,15)1 = € Al cabo de 3 años valdrá Vt = (1 – 0,15)3 = € Al cabo de 10 años valdrá Vt = (1 – 0,15)10 = € Al cabo de 20 años valdrá Vt = (1 – 0,15)20 = 698 € Nota: Observar que la base de la exponencial es a = 0,85, valor comprendido entre 0 y 1. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

10 1. ¿Disminuye el valor del vehículo la misma cantidad cada año?
Ejemplo 2 Al iniciar un negocio como autónomo se compra un vehículo nuevo por valor de €. Su valor se deprecia un 15% cada año. Esto significa que después de la depreciación del primer año, el valor del vehículo será del 85% de su costo original, de €. 1. ¿Disminuye el valor del vehículo la misma cantidad cada año? 2. ¿Cuándo es mayor la caída en valor? 3. ¿Cuándo es menor la caída en valor? 4. ¿No tendrá ningún valor el vehículo en algún momento, de acuerdo a este modelo?. 5. ¿Tendrá el vehículo en algún momento un valor negativo, de acuerdo a este modelo? La fórmula, ecuación o función será: y = (1 – 0,15)x y = (0,85)x Calcula su valor en los primeros 10 años para contestar lo indicado. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

11 La fórmula, ecuación o función será: y = 25000.(0,85)x
Resolución La fórmula, ecuación o función será: y = (0,85)x Para x=1  Valor = € Para x=2  Valor = 18062,50 € Para x=3  Valor = 15353,13 € Para x=4  Valor = 13050,15 € Para x=5  Valor = 11092,63 € Para x=6  Valor = 9427,54 € Para x=7  Valor = 8014,43 € Para x=8  Valor = 6812,26 € Para x=9  Valor = 5790,42 € Para x=10  Valor = 4921,86 € Para x=  Valor = 0,0022 € No disminuye el valor del vehículo la misma cantidad cada año, ya que se aplica el mismo porcentaje (85%) a cantidades diferentes. La mayor caída de su valor es el primer año. El proceso es infinito, siempre habrá un valor por pequeño que sea. Y ese valor nunca será nulo ni negativo. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

12 El pH de las disoluciones
La magnitud que mide el nivel de acidez o basicidad de una disolución se denomina pH y se define mediante la fórmula: pH = – log [H2O+] Siendo [H2O+] el valor de la concentración de iones hidronio en moles/litro. Las disoluciones muy ácidas tienen un pH cercano a O, las muy básicas cercano a 14, y las neutras un valor próximo a 7. EJEMPLO Hallar el pH de una disolución de amoniaco que contiene una concentración de iones hidronio de 3, moles/litro. pH = – log [H2O+] = – log [3, ] = – (log 3,15 + log 10-11) = = – log 3’15 – log = – 0,4983 – (– 11).log 10 = = – 0, = 10,5 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.