Matemática Básica para Economistas MA99 UNIDAD 2 Clase 9.3 Tema: Ecuación cuadrática – La Hipérbola Aplicaciones de Ecuaciones Cuadráticas

Objetivos: Conocer la fórmula general de la hipérbola. Definir los componentes de la hipérbola: centro, foco, eje transversal y asíntotas, y esbozar su gráfica. Definir la hipérbola equilátera. Presentar algunas aplicaciones de las ecuaciones cuadráticas en la modelación de problemas económicos, promoviendo el desarrollo de los ejercicios de manera participativa.

La hipérbola: Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos en un plano, para los que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos (denominados focos) es una constante. y x Eje transverso x y Eje transverso Una hipérbola tiene dos ejes; el eje que corta a la hipérbola es su eje transverso; el punto en el que se cortan los ejes es el centro de la curva.

La hipérbola: La ecuación de una hipérbola puede escribirse como: (h,k) es el centro de la hipérbola. El eje transverso es paralelo al eje x. y x Eje transverso

La hipérbola: (h,k) es el centro de la hipérbola. El eje transverso es paralelo al eje y. x y Eje transverso

La hipérbola: Toda hipérbola tiene un par de asíntotas que son rectas que se cortan; tales asíntotas están dadas por las ecuaciones: Ejemplos: 6x2 – 12x – 4y2 – 16y – 34 = 0 2y2 – 12y – x2 + 6x + 7 = 0

Solución: 6x2 – 12x – 4y2 – 16y – 34 = 0

Eje transverso: paralelo al eje x Asíntotas: y Centro: (1, -2) Eje transverso: paralelo al eje x Asíntotas: (1,-2)

La hipérbola equilátera: En una hipérbola equilátera, las asíntotas son perpendiculares entre sí. En ese caso, la ecuación cumple con: La ecuación de una hipérbola equilátera, cuyas asíntotas son paralelas a los ejes coordenados, puede escribirse:

La hipérbola equilátera: (h,k) es el centro de la hipérbola. X = h e y = k son las asíntotas. Si c > 0, entonces x>h e y>k ó x<h e y<k Es decir, la hipérbola tiene sus ramas en el primer y tercer cuadrante. Si c < 0, entonces x>h e y<k ó x<h e y>k Es decir, la hipérbola tiene sus ramas en el segundo y cuarto cuadrante.

La hipérbola equilátera: x=h x y Intercepto (h-c/k, 0) x=h Intercepto (0, k-c/h) Intercepto (0, k-c/h) x y Intercepto (h-c/k, 0) (h,k) (h,k) y=k y=k c < 0 c > 0

La hipérbola equilátera: Verifiquen qué sucede con la siguiente ecuación: ¿Cuál es el centro de la gráfica? ¿Cuáles son las asíntotas? ¿Qué sucede cuando c > 0?

Ejercicios: Graficar las siguientes ecuaciones, identificando las asíntotas y el centro de cada una. (x – 4)(y + 12) = 2 (x – 2)y = -4 x3y = 16 xy2 = 25

Aplicaciones a Economía

I. Curvas de Oferta y Demanda: Las secciones (o tramos) de varios tipos de parábolas que quedan en el primer cuadrante, a menudo, son adecuadas para representar funciones de oferta y demanda. x y x y y-k = -a(x-h)2 x-h = -a(y-k)2 Curvas de demanda

I. Curvas de Oferta y Demanda: x y x y y-k = a(x-h)2 x-h = a(y-k)2

I. Curvas de Oferta y Demanda: La parte de una hipérbola equilátera en el primer cuadrante con frecuencia se utiliza para representar una función de demanda x y (h,k)

Ejemplos: Obtener el precio y la cantidad de equilibrio para las siguientes ecuaciones de oferta y demanda: (esboce las curvas) 2q + p – 10 = 0 / p2 – 8q – 4 = 0 q2 + 5q – p + 1 = 0 / 2q2 + p – 9 = 0 (q + 12)(p + 6) = 169 / q – p + 6 = 0