TEMA 6 : DISTRIBUCIONES ESTADÍSTICAS.

INDICE 1.Variable discreta 2.Función de probabilidad de variable discreta. 3.Parámetros en distribuciones discretas: Media y varianza. 4. La distribución binomial. 5.- Variable aleatoria continua. Función de densidad. 6.-Distribución normal. 7.Tipificación de la variable. Cálculo de probabilidades con las tablas.

1.Variable aleatoria discreta Se denomina variable aleatoria discreta aquella que solo puede tomar un número finito de valores dentro de un intervalo. Por ejemplo, el número de componentes de una manada de lobos, puede ser 4, 5 o 6 individuos pero nunca 5,75 o 5,87. Otros ejemplos de variable discreta serían el número de pollos de gorrión que llegan a volar del nido o el sexo de los componentes de un grupo familiar de babuinos.

2.Función de probabilidad de variable discreta. * La función de distribución describe el comportamiento probabilístico de una variable aleatoria X asociada a un experimento aleatorio. * Sea X una variable aleatoria discreta asociada a un espacio probabilístico,se define la función de distribución. * Sea X una variable aleatoria discreta con función de probabilidad Px(X). Entonces: a) Px(X) >- 0, para cada valor x. b) Las probabilidades individuales suman 1.

3.Parámetros en distribuciones discretas: Media y varianza La media es un valor típico que sirve para representar una distribución de probabilidad,también es el valor promedio, a largo plazo de la variable aleatoria, y es conocida también por su “valor esperado” La varianza se utiliza para describir el grado de dispersión o variación en una distribución de probabilidades.

4.Distribución binomial: Función de probabilidad, media y varianza. Una distribución binomial o de Bernoulli tiene las siguientes características: 1.En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: éxito y fracaso. 2.La probabilidad de éxito es constante, es decir, que no varía de una prueba a otra. Se representa por p. 2.La probabilidad de fracaso también es constante, Se representa por q, q = 1 − p 3.El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente. 4.La variable aleatoria binomial, X, expresa el número de éxitos obtenidos en las n pruebas. Por tanto, los valores que puede tomar X son: 0, 1, 2, 3, 4, ..., n. La distribución bimomial se expresa por B(n, p)

F(a) = P (x ≤ a) y F(b) = P (x ≤ b) 5.variable aleatoria comtinua Si en un experimento aleatorio a cada suceso aleatorio elemental le asignamos un valor numérico  obtenemos una variable aleatoria, que puede ser discreta o continua. Si el conjunto numérico es el de los números reales la variable aleatoria es continua.    Sea la función de distribución F(t) = P (x ≤ t) y supongamos dos números reales a y b,  a<b, entonces: F(a) = P (x ≤ a)      y     F(b) = P (x ≤ b) F(b) - F(a)  = P (x ≤ b) - P (x ≤ a) = P(a<x≤b) Se llama densidad media de probabilidad en el intervalo [a, b] a:

En el ejemplo anterior del círculo que gira, la función de densidad es:

6.DISTRIBUCION NORMAL En estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales. La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de un determinado parámetro estadístico. Esta curva se conoce como campana de Gauss y es el gráfico de una función gaussiana.

7.TIPIFICACION DE LA VARIABLE.CALCULO DE PROBABILIDAD POR TABLAS Para calcular probabilidades con variables que siguen la distribución normal se usan tablas. Pero, puesto que sería imposible tener una tabla para cada posible distribución normal, solamente la tenemos para la distribución normal estándar, es decir, para la  N( 0 , 1 ).  Necesitaremos, pues, ser capaces de transformar las variables X "normales" N(µ,σ) que encontremos,  en variables Z que sigan una distribución normal estándar N(0,1). Este proceso de llevar cualquier distribución normal a una N( 0 , 1 ) se llama "tipificación de la variable".   Para tipificar X (o sea, transformarla en Z), el primer paso es "centrar" la variable; es decir, hacer que la media µ sea 0. El siguiente paso es conseguir que la desviación típica σ sea 1. Por tanto para tipificar una variable lo que hemos de hacer es restar la media y dividir por la desviación típica.

Ejemplo 1: X →N( 8 , 1.5). Calcula P[ X < 6] y para terminar y calcular la probabilidad, aplicamos lo que viene a continuación. Con esto lo que hemos hecho es simplemente tipificar la variable transformando la probabilidad pedida en una relacionada con la normal N ( 0 , 1 ).