DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Alvaro Alfredo Bravo UNIVERSIDAD DE NARIÑO.

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1 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Alvaro Alfredo Bravo UNIVERSIDAD DE NARIÑO

2 Experimento aleatorio: un experimento es considerado aleatorio si sus resultados son inciertos. Variable aleatoria: es aquella cuyos valores surgen asignando números, a los resultados de un experimento aleatorio. V. A. Discreta: Solo adopta valores aislados de un intervalo y no todos los que corresponden a él. V. A. Contínua: Adopta cualquiera de los valores de un intervalo. Distribución de Probabilidad Puede considerarse como una distribución de frecuencias relativas correspondiente a una población. Las distribuciones de probabilidad son consideradas teóricas en el sentido que se obtienen por un razonamiento lógico, en lugar de experimentos reales. Alvaro Alfredo Bravo UNIVERSIDAD DE NARIÑO

3 DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD Una distribución de probabilidad para una variable aleatoria discreta es un listado mutuamente excluyente, de todos los resultados numéricos posibles, tal que existe una probabilidad particular de ocurrencia asociada con cada uno de ellos. Ejemplo: El el lanzamiento de cuatro monedas.  ¿Cuales son los resultados posibles del experimento si la variable aleatoria mide el número de caras?  ¿Cuál es la probabilidad del número de caras en el experimento aleatorio? Alvaro Alfredo Bravo UNIVERSIDAD DE NARIÑO

4 Puntos de muestraNúmero de CarasProbabilidad XXXX01/16 XXXC11/16 XXCX11/16 XCXX11/16 CXXX11/16 CCXX21/16 XCCX21/16 XXCC21/16 CXXC21/16 CXCX21/16 XCXC21/16 CCCX31/16 CCXC31/16 CXCC31/16 XCCC31/16 CCCC41/16 Alvaro Alfredo Bravo UNIVERSIDAD DE NARIÑO

5 Número de carasf(x i )F(x i ) 01/16 14/165/16 26/1611/16 34/1615/16 41/1616/16 Distribución de frecuencias relativas y frecuencias relativas acumuladas del número de caras al arrojar cuatro monedas. Alvaro Alfredo Bravo UNIVERSIDAD DE NARIÑO

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7 Función de Probabilidad: f(xi) Si X es una variable aleatoria que puede asumir valores x 1, x 2,...., x n, con probabilidades asociadas f(x 1 ), f(x 2 ),...., f(x n ), entonces el conjunto de pares ordenados (x i, f(x i )), i = 1, 2,...., n, se llama Función de probabilidad o Distribución de probabilidad de X. ¿Cual es la probabilidad de que al arrojar cuatro monedas salgan dos caras? f(2) = P(X = 2) = 6/16 Alvaro Alfredo Bravo UNIVERSIDAD DE NARIÑO

8 Requisitos  La función f(x i ), asume un valor numérico para todas las x i, 1  i  n  f(x i )  0 para cualquier valor posible de x.  Alvaro Alfredo Bravo UNIVERSIDAD DE NARIÑO

9 Función de distribución acumulada: F(xi) Si X es una variable aleatoria y, x es un número real, la Función de Distribución Acumulada de x, representada por F(x i ), muestra la probabilidad de que X asuma valores menores o iguales a x, y se expresa: ¿Cuál es la probabilidad de que al arrojar cuatro monedas salgan dos o menos caras? F(2) = P(X  2) = 11/16 Alvaro Alfredo Bravo UNIVERSIDAD DE NARIÑO

10 ESPERANZA MATEMÁTICA El valor esperado o esperanza matemática de una variable aleatoria discreta es un promedio y se calcula como la suma de cada valor que toma la variable aleatoria multiplicada por su respectiva probabilidad.  x = E(X) = x 1 * f(x 1 ) + x 2 * f(x 2 ) +... + x n * f(x n ) E(x) = El valor esperado de caras al arrojar cuatro monedas es :  x = E(X) = 0 (1/16) + 1 (4/16) + 2 (6/16) + 3 (4/16) + 4 (1/16) = 2 caras Alvaro Alfredo Bravo UNIVERSIDAD DE NARIÑO

11 VARIANZA La varianza de una variable aleatoria discreta se puede considerar como la desviación promedio al cuadrado en torno a la media E(x) tomada sobre todos los valores. La varianza de caras al arrojar cuatro monedas es : V(x) =  2 (x) = (0 – 2) 2 (1/16) + (1 – 2) 2 (4/16) +... + (4 – 2) 2 (1/16) = 1(cara) 2 Por consiguiente la desviación típica es:  (x) = 1 cara Alvaro Alfredo Bravo UNIVERSIDAD DE NARIÑO

12 DISTRIBUCION BINOMIAL Alvaro Alfredo Bravo UNIVERSIDAD DE NARIÑO

13 Alvaro Alfredo Bravo UNIVERSIDAD DE NARIÑO Supongamos que un experimento aleatorio tiene las siguientes características: En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados que llamaremos éxito y su contrario fracaso. El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente. La probabilidad de éxito es constante, la representamos por p, y no varía de una prueba a otra. La probabilidad de fracaso es 1- p (generalmente se la representa por q). El experimento consta de un número finito n de pruebas. La variable aleatoria mide el número de éxitos en las n pruebas. Todo experimento que tenga estas características diremos que sigue el modelo de la distribución Binomial. A la variable X que expresa el número de éxitos obtenidos en cada prueba del experimento, la llamaremos variable aleatoria binomial.

14 Alvaro Alfredo Bravo UNIVERSIDAD DE NARIÑO La variable binomial es una variable aleatoria discreta, sólo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4,..., n suponiendo que se han realizado n pruebas. Como hay que considerar todas las maneras posibles de obtener k-éxitos y (n-k) fracasos debemos calcular éstas por combinaciones (número combinatorio n tomando k). La distribución Binomial se suele representar por B(n,p) siendo n y p los parámetros de dicha distribución.

15 Alvaro Alfredo Bravo UNIVERSIDAD DE NARIÑO Función de Probabilidad de la variable aleatoria Binomial Parámetros de la Distribución Binomial

16 Alvaro Alfredo Bravo UNIVERSIDAD DE NARIÑO Función de Distribución Binomial siendo k el mayor número entero menor o igual a x i. Esta función de distribución proporciona, para cada número real x i, la probabilidad de que la variable X tome valores menores o iguales que x i.

17 Alvaro Alfredo Bravo UNIVERSIDAD DE NARIÑO Ejemplo 1 Una máquina fabrica una determinada pieza y se sabe que produce un 7 por 1000 de piezas defectuosas. Hallar la probabilidad de que al examinar 50 piezas sólo haya una defectuosa. Solución: Se trata de una distribución binomial de parámetros B(50, 0.007) y debemos calcular la probabilidad p(X=1).

18 Alvaro Alfredo Bravo UNIVERSIDAD DE NARIÑO Ejemplo 2 La probabilidad de éxito de una determinada vacuna es 0,72. Calcula la probabilidad de a que una vez administrada a 15 pacientes: a) Ninguno sufra la enfermedad b) Todos sufran la enfermedad c) Dos de ellos contraigan la enfermedad Solución: Se trata de una distribución binomial de parámetros B(15, 0'72)

19 Alvaro Alfredo Bravo UNIVERSIDAD DE NARIÑO DISTRIBUCION DE POISSON

20 Alvaro Alfredo Bravo UNIVERSIDAD DE NARIÑO Tiene las siguientes características: En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados que llamaremos éxito y su contrario fracaso. El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente. La variable aleatoria mide el número de éxitos en las n pruebas. Se conoce el promedio de éxitos por unidad de tiempo o de espacio La distribución Poisson tiene conexión con los procesos de Poisson. Se aplica a varios fenómenos discretos de la naturaleza (esto es, aquellos fenómenos que ocurren 0, 1, 2, 3,... veces durante un periodo definido de tiempo o en una área determinada) cuando la probabilidad de ocurrencia del fenómeno es constante en el tiempo o el espacio.

21 Alvaro Alfredo Bravo UNIVERSIDAD DE NARIÑO Ejemplos de estos eventos que pueden ser modelados por la distribución Poisson incluyen: El número de autos que pasan a través de un cierto punto en una ruta (suficientemente distantes de los semáforos) durante un periodo definido de tiempo. El número de errores de ortografía que uno comete al escribir una única página. El número de llamadas telefónicas en una central telefónica por minuto. El número de servidores web accedidos por minuto. El número de mutaciones de determinada cadena de ADN después de cierta cantidad de radiación. El número de núcleos atómicos inestables que decayeron en un determinado periodo de tiempo en una porción de sustancia radiactiva. La radiactividad de la sustancia se debilitará con el tiempo, por lo tanto el tiempo total del intervalo usado en el modelo debe ser significativamente menor que la vida media de la sustancia. El número de estrellas en un determinado volumen de espacio. La distribución de receptores visuales en la retina del ojo humano.

22 Alvaro Alfredo Bravo UNIVERSIDAD DE NARIÑO En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados por unidad de área, tiempo, pieza, etc: - Número de defectos de una tela por m 2 - Número de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día, hora, minuto, etc. - Número de bacterias por cm 2 de cultivo - Número de llamadas telefónicas a un conmutador por hora, minuto, etc. - Número de llegadas de embarcaciones a un puerto por día, mes, etc.

23 Alvaro Alfredo Bravo UNIVERSIDAD DE NARIÑO Para determinar la probabilidad de que ocurran x éxitos por unidad de tiempo, área, o producto, la fórmula a utilizar sería:

24 Alvaro Alfredo Bravo UNIVERSIDAD DE NARIÑO Su media y su varianza son: Ejemplo: En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidad de identificar una imperfección en 3 minutos. Solución: x = número de imperfecciones en la hojalata por cada 3 minutos λ = 0.2 x 3 = 0.6 imperfecciones en promedio por cada 3 minutos en la hojalata

25 Alvaro Alfredo Bravo UNIVERSIDAD DE NARIÑO DISTRIBUCION NORMAL

26 Esta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadísticas. Su propio nombre indica su extendida utilización, justificada por la frecuencia o normalidad con la que ciertos fenómenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribución. Muchas variables aleatorias continuas presentan una función de densidad cuya gráfica tiene forma de campana. En otras ocasiones, al considerar distribuciones binomiales, tipo B(n,p), para un mismo valor de p y valores de n cada vez mayores, se ve que sus polígonos de frecuencias se aproximan a una curva en "forma de campana". Alvaro Alfredo Bravo UNIVERSIDAD DE NARIÑO

27 La importancia de la distribución normal se debe principalmente a que hay muchas variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal: - Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,...) de una especie, por ejemplo tallas, pesos, envergaduras, diámetros, perímetros,... - Caracteres fisiológicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis de un fármaco, o de una misma cantidad de abono. - Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen. - Caracteres psicológicos, por ejemplo: cociente intelectual, grado de adaptación a un medio,... - Errores cometidos al medir ciertas magnitudes. - Valores estadísticos muestrales, por ejemplo: la media. Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones normales, y en general cualquier característica que se obtenga como suma de muchos factores. Alvaro Alfredo Bravo UNIVERSIDAD DE NARIÑO

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31 Características de la distribución normal tipificada - No depende de ningún parámetro - Su media es 0, su varianza es 1 y su desviación típica es 1. - La curva f(x) es simétrica respecto del eje Y - Tiene un máximo en este eje para z = 0 - Tiene dos puntos de inflexión en z =1 y z = -1 Alvaro Alfredo Bravo UNIVERSIDAD DE NARIÑO

32 PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL -Tiene una única moda, que coincide con su media y su mediana. -La curva normal es asintótica al eje de abscisas. Por ello, cualquier valor entre - ∞ y + ∞ es teóricamente posible. El área total bajo la curva es, por tanto, igual a 1. -Es simétrica con respecto a su media. Según esto, para este tipo de variables existe una probabilidad de un 50% de observar un dato mayor que la media, y un 50% de observar un dato menor. -La distancia entre la línea trazada en la media y el punto de inflexión de la curva es igual a una desviación típica (σ). Cuanto mayor sea, más aplanada será la curva de la densidad. Alvaro Alfredo Bravo UNIVERSIDAD DE NARIÑO

33 -El área bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos desviaciones estándar de la media es igual a 0.95. En concreto, existe un 95% de posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo. -La forma de la campana de Gauss depende de los parámetros media µ y desviación típica σ. La media indica la posición de la campana, de modo que para diferentes valores de la gráfica es desplazada a lo largo del eje horizontal. -Por otra parte, la desviación estándar determina el grado de apuntamiento de la curva. Cuanto mayor sea el valor de σ, más se dispersarán los datos en torno a la media y la curva será más plana. Un valor pequeño de este parámetro indica, por tanto, una gran probabilidad de obtener datos cercanos al valor medio de la distribución. Alvaro Alfredo Bravo UNIVERSIDAD DE NARIÑO

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