Aplicaciones de la Derivada: Trazado de gráficas Sesión 36

Las técnicas del cálculo son una herramienta muy importante para trazar gráficas de funciones y encontrar información aplicable en una gran variedad de problemas de la vida real.

En esta sesión estudiaremos cómo, a partir de la derivada, podemos hacer descripciones muy precisas de las gráficas de funciones, pero antes debemos definir y conocer los siguientes conceptos:

Funciones Crecientes y Decrecientes La gráfica de la función f(x) está creciendo o decreciendo dependiendo de si se ve de izquierda a derecha o de derecha a izquierda. Para evitar confusiones, se seguirá siempre la costumbre generalizada de leer la gráfica de izquierda a derecha.

Función Creciente Se dice que la función f(x) es creciente en x = a si, en una pequeña región cercana al punto (a, (f (a)), la gráfica se levanta de izquierda a derecha. En esta región, si x1 < x2 entonces f (x1) < f (x2). f(x2) f(a) f(x1) x1 a x2

Función Decreciente La función es decreciente en x = a si, en una pequeña región cercana al punto (a, f (a)), la gráfica baja de izquierda a derecha. En esta región, si x1 < x2 entonces f (x1) > f (x2). f(x1) f(a) f(x2)

Función Decreciente

Puntos Extremos Relativos En la gráfica x = a se conoce como un punto extremo relativo, en este punto la función ni crece ni decrece.

Extremos Relativos Máximos y Mínimos Un punto extremo relativo de una función es un punto en el que la gráfica cambia de creciente a decreciente o viceversa. Se distinguen de manera obvia dos posibilidades: un punto máximo relativo es un punto donde la gráfica cambia de creciente a decreciente, un punto mínimo relativo es un punto donde la gráfica cambia de decreciente a creciente.

Máximo relativo creciente decreciente creciente Mínimo relativo

El adjetivo “relativo” en estas definiciones, indica que un punto es máximo o mínimo solamente en relación a los puntos cercanos en la gráfica. Máximo relativo Mínimo relativo

Decreciente Creciente Mínimo relativo en x = a

Creciente Decreciente Máximo relativo en x = a

Extremos Absolutos El valor máximo, o valor máximo absoluto, de una función es el valor más grande que toma la función en su dominio. El valor mínimo, o valor mínimo absoluto, de una función es el valor más pequeño que toma una función en su dominio.

El valor máximo o mínimo relativo o absoluto de una función es el valor de la coordenada y, es decir, el valor de la función. f(b) Máximo relativo Mínimo relativo f(a) a b

Utilizando la derivada de una función podemos encontrar los intervalos donde la función es creciente y decreciente, así como los mínimos y máximos relativos y absolutos para finalmente trazar su gráfica.

Criterio de la primera derivada f´(x) Describir el criterio de la primera derivada para encontrar intervalos crecientes y decrecientes, máximos y mínimos de funciones.