Armando Esteva Román INTEGRAL DEFINIDA Y METODOS DE INTEGRACION Definición de integral indefinida Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función. Se representa por ∫ f(x) dx. Propiedades de integrales indefinidas 1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones. ∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx 2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función. ∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx Calculo de integrales indefinidas Una función f (x) cuya derivada, en un cierto intervalo del eje x, F’(x) = f (x), decimos que f (x) es la primitiva o integral indefinida de f (x). La integral indefinida de una función no es única;… Todas las primitivas de f (x) =2x están representadas por la expresión x2 + C, en la que C es una constante cualquiera y que se denomina constante de integración. Integrales indefinidas por fracciones parciales El cociente de dos polinomios se denomina función racional. La derivación de una función racional conduce a una nueva función racional que puede obtenerse por la regla de la derivada de un cociente. Por otra parte, la integración de una función racional puede conducirnos a funciones que no son racionales Integrales indefinidas directas En ocasiones es posible aplicar la relación dada por el teorema fundamental del cálculo de forma directa. Esto es, si se conoce de antemano una función cuya derivada sea igual a f(x) (ya sea por disponer de una tabla de integrales o por haberse calculado previamente), entonces tal función es el resultado de la anti derivada. INTEGRAL DEFINIDA Y METODOS DE INTEGRACION Integrales indefinidas por sustitución trigonométrica Las sustituciones que involucran funciones trigonométricas se pueden llevar a cabo en aquellas integrales cuyo integrando contiene una expresión de la forma La sustitución trigonométrica permite transformar una integral en otra que contiene funciones trigonométricas cuyo proceso de integración es más sencillo. Integrales indefinidas con cambio de variable El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta. Queremos realizar la integral ∫ ƒ(x) dx donde ƒ no tiene una primitiva inmediata. Debemos buscar un cambio de variable que transforme la integral en una integral inmediata o composición de funciones. Entonces, para el cambio, x = g(t) dx = g′(t)dt ∫ ƒ(x) dx = ∫ f(g(t))g′(t) dt De esta forma se ha transformado el integrando en función de la nueva variable t. Si la elección de la variable t ha sido acertada, la integral resultante es más sencilla de integrar. El éxito de la integración depende, en grado considerable, de la habilidad para elegir la sustitución adecuada de la variable. Una vez obtenida la función primitiva, F(t) + C, se deshace el cambio de la variable substituyendo t = g (x). Así se tiene la integral indefinida en función de la variable inicial x. Integrales indefinidas por partes Se llama integración por partes, porque la integral se divide en dos partes una u y otra dv. La integral debe estar completa y sin alterar la operación dentro de ella. Integrales indefinidas trigonométricas Al igual que las funciones logarítmicas y exponenciales, las funciones trigonométricas también pueden ser integradas. Existe un conjunto separado de fórmulas disponibles para todas las funciones trigonométricas así como para las funciones trigonométricas inversas. Estas fórmulas pueden ser utilizadas directamente en su lugar para integrar el integrando dado. Aparte de eso las identidades trigonométricas son también fundamentales para llevar a cabo la solución de problemas, especialmente durante el uso de métodos como la sustitución. Armando Esteva Román