Matemáticas 1º Bachillerato CT ECUACIONES Y SISTEMAS U.D. 4 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS U.D. 4.3 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT TEOREMA DEL RESTO RAÍZ de un polinomio son todos los valores de x que al ser sustituidos el valor numérico del polinomio es cero. Cumplen la ecuación: P(x)=0 TEOREMA DEL RESTO El resto de la división de un polinomio P(x) entre un binomio de la forma (x ‑ a) , es el valor del polinomio al sustituir la variable x por el valor de a. Si el binomio es de la forma (x + a) , sustituiremos la x por ‑ a. Si el resto es cero, la división es exacta y el valor de a se dice que es una raíz del polinomio. Si un polinomio es de grado n , tendrá como máximo n raíces reales. Si un polinomio es de grado impar tendrá obligatoriamente una raíz real. Si es de grado par tendrá 0, 2, 4 , … raíces reales. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT EJEMPLO_1 Ya hemos visto al hacer la división: ( x3 + 4.x2 - 5 ) : ( x - 3 ), que el resto es 58 Veamos aplicando el Teorema del resto: P(a)=P(3)= 33 + 4.32 - 5 = 27 + 36 – 5 = 58 EJEMPLO_2 ( x3 + 4.x2 - 5 ) : ( x + 5 ), que el resto es – 30 P(a)=P(-5)= (-5)3 + 4.(-5)2 - 5 = -125 + 100 – 5 = - 30 EJEMPLO_3 ( 4.x3 + 5.x - 3 ) : ( x + 2 ), que el resto es – 45 P(a)=P(-2)= 4.(-2)3 + 5.(-2) - 3 = - 32 – 10 – 3 = - 45 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT Raíces enteras de P(x) Las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del término independiente. Sea P(x) = a.x3 + b.x2 + c.x + d Donde a, b, c y d son números enteros. Se debe cumplir, si r es una raíz de P(x): a.r3 + b.r2 + c.r + d = 0 r.(a.r2 + b.r + c) = - d Vemos que r es un factor de – d O sea, que r es un divisor entero de d. Si el polinomio P(x) no presenta término independiente, x=0 será una raíz o solución de la ecuación P(x) = 0 Para hallar las raíces enteras de un polinomio se aplicará el Teorema del Resto con todos los divisores enteros del término independiente. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT EJEMPLO 1 Sea P(x) = x3 + 2.x2 - 5.x - 6 Tenemos que resolver la ecuación: x3 + 2.x2 - 5.x - 6 = 0 Las posibles soluciones o raíces enteras son: PRE = {1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6} , o sea los divisores de 6. Comprobamos una a una aplicando el Teorema del Resto. Las soluciones o raíces son: x = -1 , x = 2 y x = -3 EJEMPLO 2 Sea P(x) = x3 + x2 + 4.x + 4 Tenemos que resolver la ecuación: x3 + x2 + 4.x + 4 = 0 PRE = {1, -1, 2, -2, 4, - 4} , o sea los divisores de 4. Comprobamos una a una aplicando el Teorema del Resto: La única raíz entera es x = -1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT EJEMPLO 3 Sea P(x) = x3 - 3 x2 + 3.x - 1 Tenemos que resolver la ecuación: x3 - 3 x2 + 3.x - 1 = 0 Las posibles soluciones o raíces enteras son: PRE = {1, -1} , o sea los divisores de 1. Comprobamos una a una aplicando el Teorema del Resto: x = 1 es la única raíz ¿Y las otras 2 raíces, puesto que puede haber hasta tres?. ¿Son fraccionarias, no enteras?. ¿O no son reales?. Pues en este caso resulta que las otras dos raíces también son enteras, pero al ser del mismo valor que la hallada, no nos hemos apercibido. Para evitar que, al repetirse dos o más veces una misma raíz, las omitamos cometiendo un error, emplearemos el método escalonado de Ruffini, sobre todo si el cociente es un polinomio de grado tres o superior. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT TEOREMA DEL FACTOR RAÍZ de un polinomio son todos los valores de x que al ser sustituidos el valor numérico del polinomio es cero. Cumplen la ecuación: P(x)=0 Por el Teorema del Resto, si a es una raíz, entonces P(a) = 0 TEOREMA DEL FACTOR Si el resto de la división de un polinomio P(x) entre un binomio de la forma (x ‑ a) es 0, entonces la división es exacta y a es una raíz del polinomio. Se cumple que: P(x) = (x – a).C(x) Siendo C(x) el cociente que nos haya dado la división. (x – a) será un factor de P(x). P(x) se podrá entonces factorizar, convertir en un producto de polinomios. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Factorizar un polinomio es expresarlo como producto de dos o más factores, donde cada factor es un monomio o un polinomio. CASOS A CONSIDERAR 1.- Que a P(x) le falte el término independiente. P(x) = a.x3 + b. x2 + c.x Extraemos factor común a x y lo tendremos factorizado: P(x) = x.(a.x2 + b. x + c ) Ejemplos 1.- P(x) = 3.x3 + 4.x  Extraemos factor común a x P(x) = x.(3.x2 + 4 ) 2.- P(x) = 2.x4 - 3.x2  Extraemos factor común a x P(x) = x.(2.x3 - 3.x ) = x.x.(2.x2 - 3 ) = x2.(2.x2 - 3 ) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT 2.- Que P(x) sea el desarrollo de un producto notable. Se identifica el producto y se expresa como producto de factores o potencia. Ejemplos x2 + 6x + 9 = ( x + 3 )2 2 – 4y2 = (√2 + 2y).(√2 – 2y ) 3.- Que P(x) al ser dividido entre (x – a) resulte una división exacta (resto = 0). En ese caso como P(x) = d(x).c(x) + r(x) y r(x) = 0 Resulta que P(x) = (x - a). c(x) , que es el producto de dos polinomios. Ejemplo Sea P(x) = x3 - 3.x2 + 3.x - 1 Como el 1 es una raíz x3 - 3.x2 + 3.x - 1 = ( x - 1).( x2 – 2.x + 1) Y ya estaría factorizado, aunque no completamente. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT