Unidad 7. Capítulo III. Transformada de Laplace de funciones seleccionadas.

U-7. Cap. III. Transformada de Laplace de funciones. 1 f (t) = 1. Prueba: este límite converge a cero cuando s > 0, por tanto: 

2 f (t) = c (constante).  Prueba: entonces: U-7. Cap. III. Transformada de Laplace de funciones. 2 f (t) = c (constante). Prueba: entonces: 

U-7. Cap. III. Transformada de Laplace de funciones. 3 f (t) = t. Prueba: El límite converge a cero cuando s > 0, por lo que: 

U-7. Cap. III. Transformada de Laplace de funciones. 4. f (t) = t 2. Prueba: El límite converge a cero cuando s > 0, por lo que: 

Cuando n  N, la transformada de Laplace es: U-7. Cap. III. Transformada de Laplace de funciones. 5 f (t) = t n, n  N. Cuando n  N, la transformada de Laplace es: en donde aparece la función gamma de Euler, (G).

o bien: Función gamma: Definición. Solución general: U-7. Cap. III. Transformada de Laplace de funciones. Función gamma: Definición. Solución general: o bien: Para valores enteros positivos de z, se cumple: Así, G es la generalización de la función factorial.

con: , es decir, Ejemplo: Calcule G(½). Solución: se tiene: entonces: U-7. Cap. III. Transformada de Laplace de funciones. Ejemplo: Calcule G(½). Solución: con: se tiene: entonces: y, con un cambio de variable (coordenadas polares): , es decir,

U-7. Cap. III. Transformada de Laplace de funciones. 6 f (t) = e at. Prueba: El límite converge a cero cuando s  a > 0, así: 

U-7. Cap. III. Transformada de Laplace de funciones. 7 f (t) = cos b t. Prueba: El límite converge a cero cuando s > 0, así: 

U-7. Cap. III. Transformada de Laplace de funciones. 8 f (t) = sen b t. Prueba: El límite converge a cero cuando s > 0, así: 

 9 f (t) = cosh b t. Prueba: de manera que: U-7. Cap. III. Transformada de Laplace de funciones. 9 f (t) = cosh b t. Prueba: de manera que: 

 10 f (t) = senh b t. Prueba: de esta manera: U-7. Cap. III. Transformada de Laplace de funciones. 10 f (t) = senh b t. Prueba: de esta manera: 

Función escalón unitario. U-7. Cap. III. Transformada de Laplace de funciones. Función escalón unitario. Definición: Este es un comportamiento análogo al de un switch que está apagado y, justo en el instante t = a, se enciende.

 11 f (t) = U a(t) = U (t  a). Prueba: y, con s > 0: U-7. Cap. III. Transformada de Laplace de funciones. 11 f (t) = U a(t) = U (t  a). Prueba: y, con s > 0: 

 12 Función periódica. Prueba: U-7. Cap. III. Transformada de Laplace de funciones. 12 Función periódica. Prueba: con t = h + T, la segunda integral se modifica Por tanto: y ordenando: 

13 Función impulso unitario I (t). U-7. Cap. III. Transformada de Laplace de funciones. 13 Función impulso unitario I (t). Definición: En esta función lo que resulta importante es medir el impulso de la fuerza (el área I bajo la curva fuerza-tiempo), es decir:

Función Impulso Unitario Por lo que es razonable suponer que toda la fuerza actúa en el instante t0 con una intensidad igual al impulso I. Con esta idealización trasladada a funciones, se define la función impulso unitario o delta de Dirac: cuya transformada de Laplace es: