Funciones 1. Definición Ejemplos: R A B a b c d e f R (c)= e R (c)= f Una “función f” es una relación, tal que todo elemento del conjunto de partida tiene imagen, y ésta es única. Dom f = A Ningún elemento del dominio tiene más de una imagen. Ejemplos: 1. Determine si la siguiente relación R es función: R A B a b c d e f R (c)= e R (c)= f La relación R NO es función, porque c tiene dos imágenes.

2. Determine si la siguiente relación R es función: B 3 5 4 6 7 9 R es función, ya que cada elemento del conjunto de partida tiene imagen y ésta es única. f f (3) = 6 A B 3 5 4 6 7 9 f (5) = 6 f (4) = 7 Además: Dominio(f) = A Recorrido(f) = {6,7}

2. Evaluación de funciones Ejemplo 1: Sea f una función, definida en los reales como: f(x) = 2x + 3. f Determinar: IR IR a) f (1) = 2·1 + 3 = 5 1 3 7 12 … x 5 9 17 27 … f(x) b) f (3) = 2·3 + 3 = 9 c) f (7) = 2·7 + 3 = 17 d) f (12) = 2·12 + 3 = 24 + 3 = 27

e) Para f(x) = 2x + 3, determinar f (4) - 3·f (0) f (-1) = 2·4 + 3 – 3(2·0 + 3) 2(-1) + 3 8 + 3 – 3(3) 1 = = 11 – 9 = 2

3. Dominio y Recorrido Representación gráfica de: f(x) = 2x + 3. f(x) = 2x + 3 es “función afín”, Dom(f)=IR y Rec(f)=IR

¿Es siempre posible calcular este cuociente? Ejemplo 1: f(x)= 2 x – 1 Sea ¿Es siempre posible calcular este cuociente? Respuesta: Como la división por 0 no está definida, x – 1 debe ser distinto de 0, es decir: x ≠ 1. f Luego, Dom(f) = IR – {1} IR IR 2 3 -1 x 1 2 1 -1 … f(x)

Ejemplo 2: ¿Por qué? Ejemplo 3: f(x)= x x – 3 x= 3y y – 1 y= x x – 3 Sea f(x) = x + 2 Dom(f) = [ -2, +∞ [ ¿Por qué? Ejemplo 3: f(x)= x x – 3 Como la división por 0 no está definida, x – 3 debe ser distinto de 0, es decir: x ≠ 3. Luego, Dom(f) = IR – {3} Para determinar el recorrido de f(x), se debe despejar x. x= 3y y – 1 y= x x – 3 yx – 3y=x yx – x=3y y(x – 3)=x x(y – 1)=3y Luego, Rec(f) = IR – {1}

Ejemplo 4: Indicar si los siguientes gráficos corresponden a funciones, determinando el dominio y recorrido de aquellos que representen una función. y = 2 Dom(f) = [-2,5 , 5] Dom(f) = IR Rec(f) = [-1,8 , 3,2] Rec(f) = {2}

x = 3 Dom(f) = IR No es función Rec(f) = ]-∞ , 4]

3.4. Clasificación Función inyectiva (uno a uno): Ejemplo: f A B 2 3 7 Una función es inyectiva si cada f(x) en el recorrido, es imagen de exactamente un único elemento del dominio. Ejemplo: 1. Determine si la siguiente función es inyectiva: f A B 2 3 7 4 5 6 Dom(f) = A Rec(f) = {5,6} f NO es función inyectiva, porque 6 es imagen de 2 y de 3.

2. Determine si la siguiente función es inyectiva: B 2 3 7 4 5 6 9 Dom(f) = A Rec(f) = {4, 5, 6} f es función inyectiva, ya que cada elemento del recorrido es imagen de un único elemento del dominio.

Función epiyectiva (sobreyectiva): Una función es epiyectiva o sobreyectiva si todos los elementos del conjunto de llegada (codominio), son imagen de algún elemento del conjunto de partida, es decir, el recorrido es igual al conjunto de llegada. Ejemplos: f1 A B 9 3 5 6 7 Dom(f1) = A Rec(f1) = {6,7} = B f1 es función epiyectiva, ya que cada elemento de B (codominio), es imagen de un elemento de A. (f1 no es inyectiva).

f2 A B 2 8 -2 6 4 16 Dom(f2) = A Rec(f2) = {4, 16} ≠ B f2 NO es epiyectiva, ya que existe un elemento en B (6) que no es imagen de ningún elemento de A. (f2 no es inyectiva).

f es biyectiva, ya que es inyectiva y epiyectiva a la vez. Función biyectiva: Una función es biyectiva si es inyectiva y epiyectiva a la vez. Ejemplos: f A B 5 8 -3 4 7 -4 Dom(f) = A Rec(f) = {4, 7, -4} = B f es biyectiva, ya que es inyectiva y epiyectiva a la vez.