NÚMEROS REALES U. D. 1 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

NÚMEROS IRRACIONALES U. D. 1.1 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Números RACIONALES FRACCIONES EQUIVALENTES Son fracciones equivalentes las que representan la misma cantidad o medida. Sus expresiones decimales son idénticas. Todas las fracciones equivalentes representan un mismo número racional. Ejemplo 3 6 9 --- = ---- = ---- = … 5 10 15 Que en su expresión decimal sería 0,6 El conjunto de todos los números racionales se designa por la letra Q Todo número decimal exacto o periódico representa un número racional. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Números IRRACIONALES Las expresiones decimales no exactas ni periódicas se llaman números IRRACIONALES ( I). Ejemplo: 21,303003000… No se pueden escribir en forma de fracción. Junto con los números racionales forman el conjunto de los números REALES ( R ) Los más importantes y característicos son: El número √2 = 1,4142… Diagonal de un cuadrado de lado la unidad. El número π = 3,1415 … Cociente entre la longitud de la circunferencia y el diámetro. El número e = 2,7182… Base de los logaritmos neperianos, de enorme importancia en el Bachillerato y estudios superiores. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

El número √2 El primer radical irracional conocido fue √2 . Se trata de la diagonal de un cuadrado cuyo lado vale la unidad. Fue descubierto por Pitágoras, pero se dice que prohibió a sus alumnos difundirlo, pues uno de sus dogmas era que todo número se podía expresar como división o razón de otros dos; y claro, al ser √2 un número irracional, quedaba fuera del dogma. Aplicando el T. de Pitágoras: h= √(12 + 12) = √(1 + 1) = √2 En general, si p no es una potencia n-sima, n √ p es un número irracional. 1 √2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

El número л El número л La relación entre la longitud de una circunferencia y uno cualquiera de sus diámetros. л = 3,141592… A O B @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

El número e Una sucesión es una serie de números que siguen una determinada ley de formación. Las más importantes sucesiones son las progresiones aritméticas y geométricas. Sea la sucesión: n 1 1 + ---- , donde n es un número natural Para n = 1 , el término de la sucesión vale: (1+1)1 = 2 Para n = 2 , el término de la sucesión vale: (1+0,5)2 = 2,25 ………………………………………………………………………… Para n = 100 , el término de la sucesión vale: (1+0,01)100 = 2,7048 Para n = 1000 , el término de la sucesión vale: (1+0,001)1000 = 2,7169 Vemos que n aumenta mucho, pero el término muy poco. Si n toma un valor enorme, próximo al infinito, el valor del término valdrá el número e: e = 2,7182… @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

El número e El número e tiene una enorme importancia en la ciencia, tanto o más que el número π. Es la base de los logaritmos neperianos: y = loge x. También esa la base de las más importantes funciones: y = ex. Geométricamente, el área comprendida entre la función de proporcionalidad inversa (y = 1 / x) y el eje de abscisas, entre los valores x = 1 y x = e, es la unidad. y = 1 / x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

El número Ø 1 x La divina proporción ----- = ---------  x ( Ø ) = 1,618 x x + 1 Los primeros científicos lo bautizaron como «La Divina Proporción». Medid la distancia entre el suelo y la parte más alta de la cabeza. Y divididla luego entre la distancia que hay entre el ombligo y el suelo. Da el número Phi. Medíos la distancia entre el hombro y las puntas de los dedos y divididla por la distancia entre el codo y la punta de los dedos. Otra vez Phi. En las esculturas griegas y romanas se cuidaba mucho de que las medidas guardaran esta proporción, aunque se falsease las medidas reales de la persona esculpida. La razón entre el largo y el ancho de las tarjetas de crédito: Phi. El nombre de Phi se puso en honor de Phideas de Mileto, el primer arquitecto que llevó dicha relación de medidas al diseñar y construir el Partenón ateniense. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

El número Phi en la geometría A E B Si al rectángulo ABCD se le quita el cuadrado AEFD, el rectángulo EBCF es semejante al ABCD. AB / AD = Phi En el pentágono de la figura, los triángulos BDE y ABF son semejantes. Pues bien, la relación entre la diagonal del pentágono y su lado es también el número Phi. BE / AB = Phi D F C B C A F E D @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

El número Ø en la geometría C Si en una circunferencia de diámetro la unidad (1) tomamos una recta tangente AB, de valor la unidad (1), entonces el segmento BD tiene como medida el valor del número áureo. BD = e D O BD = e Diámetro = 1 A AB = 1 B @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Aproximaciones Como los números irracionales no se pueden expresar como razón entre dos números enteros ni como decimal periódico, dependiendo de la exactitud que deseemos, tomaremos un número finito de cifras, aproximando a su valor real. Ejemplo Sea el número √3 = 1,73205… 1.- Aproximaciones por defecto: 1 1,7 1,73 1,732 1,7320 2.- Aproximaciones por exceso: 2 1,8 1,74 1,733 1,7321 3.- Aproximaciones por redondeo: 2 1,7 1,73 1,732 1,7321 Se elige la aproximación por defecto si la primera cifra suprimida es menor que 5, y la aproximación por exceso si la primera cifra suprimida es mayor o igual que 5 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Aproximaciones Otro ejemplo Sea el número √11 = 3,3166247… 1.- Aproximaciones por defecto: 3 3,3 3,31 3,316 3,3166 2.- Aproximaciones por exceso: 4 3,4 3,32 3,317 3,3167 3.- Aproximaciones por redondeo: 3 3,3 3,32 3,317 3,3166 Por regla general, salvo indicación expresa, se emplea el método de redondeo para aproximaciones, pues es el método que en lo tocante a resultados de operaciones nos da el menor error. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.