ECUACIONES Y SISTEMAS U. D. 6 * 4º ESO E. Angel Prieto Benito

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1 ECUACIONES Y SISTEMAS U. D. 6 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito
Matemáticas 4º ESO E. AP.

2 PROBLEMAS DE ECUACIONES
U. D * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

3 Resolución de PROBLEMAS
Para resolver problemas de ecuaciones cuadráticas hay que seguir los siguientes pasos, que son los mismos que para resolver problemas de ecuaciones lineales: 1.- COMPRENSIÓN.- Leer detenidamente y entender el enunciado. 2.- DESIGNAR.- Designar una letra a la incógnita. La incógnita no es siempre el dato que se pide, sino el dato desconocido que permita resolver el problema. 3.- PLANTEAR.- Una vez designada la incógnita, se traduce a lenguaje algebraico el enunciado, resultando una o varias ecuaciones. 4.- RESOLUCIÓN.- Se despeja la incógnita de la ecuación, se halla su valor y luego el valor de los datos pedidos. 5.- COMPROBACIÓN.- Se comprueba si la solución cumple condiciones del enunciado. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

4 Problema 1 “Quiero saber la edad que tenía hace 3 años. Sé que hace cinco años tenía la tercera parte de la edad que tendré dentro de 7 años.” 1.- COMPRENSIÓN.- Leo detenidamente el enunciado. 2.- DESIGNAR.- Sea x = la edad actual que tengo, aunque no sea ese el dato que me piden. 3.- PLANTEAR.- Traduzco a lenguaje algebraico el enunciado: Hace 5 años tenía x – 5 Dentro de 7 años tendré x +7 Luego: (x – 5) = ( x + 7 ) / 3 4.- RESOLUCIÓN.- Despejo la x aplicando las reglas: 3(x-5) = 3 [ (x+7) / 3]  3.x – 15 = x + 7  2.x = 22  x = 11 Solución x – 3 = 11 – 3 = 8  Solución: Tenía 8 años. 5.- COMPROBACIÓN.- Si ahora tengo 11 años, hace cinco tenía 6 años, y dentro de 7 años tendré 18 años. Efectivamente 6 es la tercer parte de 18. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

5 Problema 2 “Mi padre se pasó la cuarta parte de su vida en el colegio, la sexta parte buscando trabajo, la mitad de su vida trabajando y cuatro años jubilado. ¿Qué edad tenía cuando falleció?. 1.- COMPRENSIÓN.- Leo detenidamente el enunciado. 2.- DESIGNAR.- Sea x = años que tenía. 3.- PLANTEAR.- Traduzco a lenguaje algebraico el enunciado: x / x / 6 + x / = x Pues la suma de todos los periodos será los años totales vividos. 4.- RESOLUCIÓN.- Primero hago el MCM, que es 12 3.x x x x = 11.x + 48 = 12.x  48 = 12.x – 11.x  48 = x Solución: Tenía 48 años. 5.- COMPROBACIÓN Se debe cumplir que: 48/4 + 48/6 + 48/ = 48 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

6 Problema 3 “Un rectángulo tiene de altura 4 cm más que de base. Sabiendo que su perímetro es de 40 cm, calcular las dimensiones del rectángulo. 1.- COMPRENSIÓN.- Leo detenidamente el enunciado. 2.- DESIGNAR.- Sea x = la medida de la base. 3.- PLANTEAR.- Traduzco a lenguaje algebraico el enunciado: La altura mide: h = x + 4 El perímetro es: P = 2.x+2.h 3.- RESOLUCIÓN.- Sustituyo h por x y P por 40 40 = 2.x + 2.(x + 4) Opero convenientemente 40 = 2.x + 2.x  40 – 8 = 4.x  32 = 4.x  x = 32 / 4 = 8 x=8 Luego la altura vale h = x + 4 = = 12 h=12 4.- COMPROBACIÓN Se debe cumplir que: 40 =  40 = 16+24 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

7 Cuento de álgebra Blancanieves ordena a los 7 enanitos por altura, del más bajito al más alto, para repartir entre ellos 77 champiñones que han recogido. Da unos cuantos al más bajito y uno más que el anterior a cada uno de los demás. ¿Cuántos champiñones corresponde a cada enanito?. Sea x los champiñones del más bajito. Tenemos que la suma total es 77, luego: x+(x+1)+(x+2)+(x+3)+(x+4)+(x+5)+(x+6)= 77 x+x+1+x+2+x+3+x+4+x+5+x+6= 77 7.x+21 =77 7x = 77 – 21  7.x = 56  x = 56 / 7  x = 8 Al más bajito le corresponden 8 champiñones. A los demás les toca: 9, 10, 11, 12, 13 y 14 champiñones. Podemos comprobar la suma: = 77 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

8 Acertijo ” – 3” Piensa un número.
(Cada alumno pensará un número y lo anotará) (El profesor adivinará todos los números que habéis pensado). Súmale 6 unidades. El resultado lo divides entre 2. Al nuevo resultado le restas 5 unidades. Al nuevo resultado lo multiplicas por 2. Al nuevo resultado sumas 7 unidades. ¿Qué te ha dado la última operación?. (Cada alumno, por orden dirá lo que le ha dado al final) Solución: ¿A que el último resultado obtenido – 3 es el número que pensaste?. Intentar reproducir algebraicamente el acertijo. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

9 Enunciados cuadráticos
“El cuadrado de la mitad de un número, más cinco, es igual a 9. Hallar dicho número.” La coma antes del “más” rompe el término en dos sumandos. Si x es el número: (x / 2)2 + 5 = 9 Operando: (x2 / 4) + 5 = 9  x2 / 4 = 9 – 5  x2 = 16 Luego: x1 = 4 y x2 = – 4 ENUNCIADO 2 “El cuadrado de la mitad de la suma de un número más cinco es 16. Si x es el número: [(x + 5) / 2]2 = 16 Operando: (x + 5)2 / 4 = 16  (x + 5)2 = 64  x x + 25 = 64 x x – 39 = 0  Resolviendo la ecuación: x1 = 3 y x2 = – 13 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

10 Enunciados cuadráticos
“La suma del cuadrado de la mitad de un número más cinco es 14.” Hallar dicho número.” Si x es el número: (x / 2)2 + 5 = 14 Operando: (x2 / 4) + 5 = 14  x2 / 4 = 14 – 5  x2 = 36 Luego: x1 = 6 y x2 = – 6 ENUNCIADO 4 “La suma de la mitad del cuadrado de un número más cinco es 19/2.” Si x es el número: [ x2 / 2 ] + 5 = 19 / 2 Operando: x2 / 2 = (19 / 2) – 5  x2 = 19 – 10  x2 = 9 Luego: x1 = 3 y x2 = – 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

11 Enunciados y ecuaciones
Enunciados cuadráticos Enunciados y ecuaciones ENUNCIADO 5 “El cuadrado de la diferencia de un número y de cinco es 16. Hallar dicho número.” Si x es el número: (x – 5)2 = 16 También valdría, en este caso: (5 – x)2 = 16 Operando: x2 – 10.x + 25 = 16  x2 – 10.x + 9 = 0 Resolviendo la ecuación: x1 = 1 y x2 = 9 ENUNCIADO 6 “El cuadrado de la suma del doble de un número y de tres es 49. Si x es el número: (2.x + 3)2 = 49 Operando: 4.x x + 9 = 49  4.x x – 40 = 0 Simplificando entre 4 queda: x2 + 3.x – 10 = 0 Resolviendo la ecuación: x1 = 2 y x2 = – 5 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

12 Problema 4 El cuadrado de la edad que tenía hace cinco años es la mitad de la edad que tendré dentro de 10 años. ¿Qué edad tengo?. Sea x = la edad actual que tengo. Traduzco a lenguaje algebraico el enunciado: Hace 5 años: Ahora: Dentro de 7 años: x – 5 x x + 10 Luego: (x – 5)2 = ( x + 10 ) / 2 Operando: x2 – 10.x + 25 = ( x + 10 ) / 2 2.x2 – 20.x + 50 = x  2.x2 – 21.x + 40 = 0 Resolviendo la ecuación: x1 = 2,5 años y x2 = 8 años Discusión: Ambas soluciones son matemáticamente correctas. La primera solución, x = 2,5 presenta el problema de una edad con decimales, que no suele ser admisible, además es imposible por la naturaleza del enunciado. Solución válida: x = 8 años @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

13 Problema 5 Quiero hacer el marco de un portarretratos rectangular, de modo que el largo sea 14 dm mayor que el ancho y que la diagonal del marco mida 26 dm. ¿Qué dimensiones debe tener?. Sea x = ancho del marco. Sea (x + 14) el largo del marco. La diagonal del marco es la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos son el largo y el ancho. Debo pues aplicar el Teorema de Pitágoras: “La hipotenusa al cuadrado es la suma de los cuadrados de los catetos.” Traduzco a lenguaje algebraico el enunciado: 262 = x2 + (x + 14)2 Operando: 676 = x2 + x x  0 = 2.x x – 480 Simplificando la ecuación: x x – 240 = 0 Resolviendo la ecuación: x1 = 10 dm y x2 = – 24 dm Discusión: La segunda medida, en geometría, no es admisible por negativa. El ancho es 10 dm y el largo 24 dm. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

14 Problema 6 La suma de los cuadrados de dos números enteros consecutivos es igual que el cuadrado de su suma. Hallarlos. Sea x = un número entero. Sea x + 1 = el número entero consecutivo. Traduzco a lenguaje algebraico el enunciado: La suma de los cuadrados: x2 + (x + 1)2 El cuadrado de la suma: [ x + (x + 1) ]2 x2 + (x + 1)2 = [ x + (x + 1) ]2 Operando: x2 + x2 + 2.x + 1 = (2.x + 1)2 2.x2 + 2.x + 1 = 4.x2 + 4.x  0 = 2.x2 + 2.x Resolviendo la ecuación incompleta: 2.x.(x + 1) = 0 Las soluciones son: x1 = 0 y x2 = – 1 Un número es x = – 1 y su consecutivo es x = – = 0 Comprobamos: (-1)2 + (-1 + 1)2 = [ ( ) ]2 = ( )2  1 = 1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

15 Problema 7 Los alumnos de 4º ESO realizan una excursión, costándoles el autocar 296 €. En el último momento fallan 3 alumnos, costándoles a los demás 0,60 € más a cada uno. ¿Cuántos alumnos son en total? Sea x = el número de alumnos. = ,60 x – x ,60.x = 296.x = 296.x + 0,60.x2 – 888 – 1,80.x 0,60.x2 – 1,80.x – 888 = 0 Simplificando: x2 – 3.x – 1480 = 0 Resolviendo la ecuación: x=[3±√(9+5920)]/2 =[3±77]/2 Las soluciones son: x1 = 40 y x2 = – 37, que no vale @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

16 Acertijo ”+2” Piensa un número.
(Cada alumno pensará un número y lo anotará) (El profesor adivinará todos los números que habéis pensado). Súmale 3 unidades. El resultado lo elevas al cuadrado. Al nuevo resultado le restas 9 unidades. Al nuevo resultado le divides por el número que pensaste. Al nuevo resultado le quitas 8 unidades. ¿Qué te ha dado la última operación?. (Cada alumno, por orden dirá lo que le ha dado al final) Solución: ¿A que si sumas 2 unidades al último resultado obtenido te da el número que pensaste?. Intentar reproducir algebraicamente el acertijo. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.