Primera producción de taller I Cálculo de área de una función a través de las sumas de Riemann… Primera producción de taller I Alumnos: Gauliski Gabriela Juroczko Leonardo

Tercer año del profesorado de matemáticas presenta…

Cálculo del área a través de las sumas de Riemann, de la función En El intervalo [0,3]

Sumatoria de la función por izquierda

Dividimos al intervalo [0,3] en subintervalos de “n” amplitud: a través de la formula

Comenzamos probando con n=4   Los subintervalos que se forman de esta manera son: Δx1 = [0,075] Δx 2=[0,75;1,5] Δx 3=[1,5;2,25] Δx 4=[2,25;3]

Calculamos la función para cada uno de los extremos de cada intervalo formados: de esta manera quedan formados rectángulos de aproximación de altura= f(xi) y base= Δ xi

Área aproximada= (2+1,0625+1,0225+2,5625+5). 0,75= 8,735625 para aproximar el área de la función sumamos las áreas de los rectángulo de aproximación: Como la base es igual para todos los rectángulos: Área aproximada= (2+1,0625+1,0225+2,5625+5). 0,75= 8,735625

Formando así los siguiente intervalos: Ahora analizamos para n=8 De la misma manera que sacamos la amplitud de los subintervalos: Formando así los siguiente intervalos:

Δx1=[0;0,375] Δx2=[0, 375;0;75] Δx3=[0,75;1,125] Δx4=[1,125;1,5] Δx5=[1,5;1,875] Δx6=[1,875;2,25] Δx7=[2,25;2,625] Δx8=[2,625;3]

Como quedan determinados más subintervalos, también se formaran más rectángulos de aproximación, cuyas alturas serán:   f(0)=(0)2-2.(0)+2=2 f(0,375)= (0,375)2-2.(0,375)+2=1,390625 f(0,75)= (0,75)2-2.(0,75)+2=1,0625 f(1,125)= (1,125)2-2.(1,125)+2=1,015625 f(1,15)= (1,15)2-2.(1,15)+2=1,0225 f(1,875)= (1,875)2-2.(1,875)+2=1,765625 f(2,25)= (2,25)2-2.(2,25)+2=2,5625 f(2,625)=3,640625 f(3)= (3)2-2.(3)+2=5

Nuevamente sumamos las áreas de los rectángulos de aproximación   Área aproximada= (2+1,390625+1,0625+1,015625+1,0225+1,765625+2,5625+3,640625+5). 0,375= 7,2975

Como vemos la aproximación por izquierda nos da un error por defecto, sin embargo a medida que tomamos subintervalos más pequeños y por lo tanto más rectángulos de aproximación, vemos que el área aproximada se asemeja al área real a tal punto que esta diferencia es prácticamente despreciable.

Aproximación del área por derecha…

De igual modo que si consideramos el área aproximada por izquierda a través de la sumatoria; dividiremos al intervalo [0,3] en subintervalos, utilizando el incremento: Para contrastarlo con la suma por izquierda, usaremos los mismos subintervalos:

Para n=4

Δx1 =[3;2,25] Δx 2=[2,25;1,5] Δx 3=[1,5;0,75] Δx 4=[0,75;0] los subintervalos son iguales, sólo que ahora los tomamos de derecha a izquierda…

Formamos los rectángulos de aproximación cuyas alturas son:

Área aproximada=(5+2,5625+1,0225+1,0625+2). 0,75=8,735625 Y nuevamente realizamos la suma de las áreas de los mismos: Área aproximada=(5+2,5625+1,0225+1,0625+2). 0,75=8,735625

Analizamos para n=8 De la misma manera que sacamos la amplitud de los subintervalos:

Intervalos: Δ x1=[3;2,625] Δ x2=[2,625;2,25] Δ x3=[2,25;1,875] Δ x4=[1,875;1,5] Δ x5=[1,5;1,125] Δ x6=[1,125;0,75] Δ x7=[0;75;0, 375] Δ x8=[0,375;0]

Alturas: f(3)= (3)2-2.(3)+2=5 f(2,625)=3,640625 f(2,25)= (2,25)2-2.(2,25)+2=2,5625 f(1,875)= (1,875)2- 2.(1,875)+2=1,765625 f(1,15)= (1,15)2-2.(1,15)+2=1,0225 f(1,125)= (1,125)2- 2.(1,125)+2=1,015625 f(0,75)= (0,75)2-2.(0,75)+2=1,0625 f(0,375)= ()2-2.(0)+2=1,390625 f(0)=(0)2-2.(0)+2=2

Nuevamente sumamos las áreas de los rectángulos de aproximación Área aproximada= (5+3,640625+2,5625+1,765625+1,0225+1,015625+1,0625+1,390625+2). 0,375= 7,2975

Como podemos ver realizando la sumatoria por derecha también produce un error, pero en este caso es por exceso, así como también ocurre realizando la suma por derecha a medida que tomamos más subintervalos el error se hace prácticamente despreciable.

En general se tiene…

Por derecha y por izquierda, como hemos visto nos da los mismos valores así que utilizamos el extremo derecho para generalizar el cálculo. Para obener el área real lo llevamos al límite…

Generalizamos… teniendo en cuenta estos datos…

Análisis de la función a través del método del trapecio…

El método del trapecio consiste en aproximar el área a través de la creación de trapecios de aproximación (formados de la unión del extremo izquierdo y derecho), cuya base menor coincide con el extremo izquierdo, la base mayor con el extremo derecho y la altura coincide con Δx.

En esta imagen se ve como se forman los trapecios…

A través de esta relación y la fórmula para calcular el área del trapecio se deduce la siguiente fórmula:

Con lo que formamos los intervalos… Entonces dividimos al intervalo [0,3] en n cantidades, por ejemplo n=8 Con lo que formamos los intervalos…

Aplicamos en la función a cada uno de sus extremos:

y reemplazamos los valores en la formula:

La representación gráfica sería…

Regla del punto medio…

Y tomamos los siguientes datos para hacerlo: [0,3] y n=4 Dada la función Y= x2 -2x+2. Calcularemos el área. Dado el intervalo [a,b ] lo dividiremos en n subintervalos a través de la fórmula: Y tomamos los siguientes datos para hacerlo: [0,3] y n=4

De esta manera se forman subintervalos… Entonces: Representa el incremento o la norma de p. De esta manera se forman subintervalos…

Los valores serán los siguientes: 0,375; 1,125; 1,875; 2,625. Los subintervalos son: [0; 0,75; 1,5;2,25;3] Seguidamente calculamos el promedio de cada subintervalos sumando el extremo derecho e izquierdo y dividiéndolo en dos. Los valores serán los siguientes: 0,375; 1,125; 1,875; 2,625.

Reemplazamos los promedios en la función dada.

A continuación sumamos los valores obtenidos y lo multiplicamos por el incremento.

Los subintervalos son:[0; 0,37; 0,75; 1,12; 1,5;1,87 ; 2,25; 2,62;3] Realizamos el mismo procedimiento con n=8. En este caso el incremento será . Los subintervalos son:[0; 0,37; 0,75; 1,12; 1,5;1,87 ; 2,25; 2,62;3]

Reemplazamos en la función dada: Calculamos el promedio de los subintervalos. Los valores serán los siguientes: 0,18; 0,56; 0,93; 1,3; 1,68; 2,06; 2,43; 2,81. Reemplazamos en la función dada:

F (0,18)=1,6 F (0,56)=1,19 F (0,93)=1 F (1,3)=1,09 F (1,68)=1,46 F (2,06)=2,12 F (2,43)=3,04 F (2,81)=4,27

Como se puede ver a medida que dividimos el intervalo en más subintervalos nos aproximamos más al área exacta.

REGLA DE SIMPSON…

Los subintervalos son: [0; 0,75; 1,5; 2,25; 3] Dada la función y= x2 -2x+2 Calcularemos el área a través de la regla de Simpson. En este caso el incremento es igual a 3/4 (se calcula de la misma forma que los caso anteriores). Los subintervalos son: [0; 0,75; 1,5; 2,25; 3]

Una vez calculados estos valores Reemplazamos los subintervalos en la función. F (0)=2 F (0,75)=1,06 F (1,5)=1,25 F (2,25)=2,56 F (3)=5 Una vez calculados estos valores

reemplazamos en la fórmula:

Reemplazamos los extremos de los subintervalos en la función: Realizamos el mismo procedimiento con n=8. El incremento será 3/8. Los subintervalos son: [0; 0,37; 0,75; 1,12; 1,5; 1,87; 2,25; 2,62; 3] Reemplazamos los extremos de los subintervalos en la función:

F (0)=2 F (0,37)=1,39 F (0,75)=1,06 F (1,12)=1 F (1,5)=1,25 F (1,87)=1,75 F (2,25)=2,56 F (2,62)=3,62 F (3)=5

De la misma forma que la anterior reemplazamos estos valores en la fórmula. Sn= 5,97

Esperamos que les haya servido… Como se puede ver a través de cualquiera de los métodos podemos aproximar o hasta calcular el área real de la función… Esperamos que les haya servido…