Unidad 2 Capítulo VII Ecuaciones lineales

U-2. Cap. VII. Ecuaciones Lineales Una vez establecida y aceptada la relevancia que tienen los factores integrantes en la solución de ecuaciones diferenciales es posible abordar las ecuaciones lineales de primer orden, cuya forma estándar es la siguiente: en donde p y q son funciones estrictas de la variable x y se suponen continuas en un intervalo dado. Se propone resolver esta ecuación mediante la búsqueda de un factor integrante m (x) que, al multiplicar a la ecuación lineal, transforme su miembro izquierdo en la derivada de una sola expresión.

Es decir, que en el producto U-2. Cap. VII. Ecuaciones Lineales Es decir, que en el producto el miembro izquierdo sea análogo a la derivada así de donde, al simplificar se obtiene una ecuación de variables separables

La hipótesis asegura también que la ecuación diferencial U-2. Cap. VII. Ecuaciones Lineales La aplicación de operador integral a esta última ecuación permite obtener el factor integrante en la forma: siempre que la integral exista. Aquí se omite la constante de integración C ya que su inclusión produce la misma solución multiplicada por una constante. La hipótesis asegura también que la ecuación diferencial es equivalente a

para producir la solución general de la ecuación lineal: U-2. Cap. VII. Ecuaciones Lineales siendo esta última una ecuación que se resuelve mediante una integración directa para producir la solución general de la ecuación lineal: donde el factor integrante m (x) es el anteriormente obtenido y la constante de integración C se determina a través de la condición inicial.

Ejemplo: Resuelva el siguiente problema de valor inicial lineal: U-2. Cap. VII. Ecuaciones Lineales Ejemplo: Resuelva el siguiente problema de valor inicial lineal: Solución: En primer lugar, la ecuación se escribe en su forma estándar. Luego, como p(x) = 3, el factor integrante es y al multiplicar la ecuación diferencial por m (x)

Finalmente, la solución general es: U-2. Cap. VII. Ecuaciones Lineales es decir se puede observar que el lado izquierdo de la ecuación corresponde con la derivada del producto e3xy Finalmente, la solución general es: o bien

Las soluciones de las integrales son: U-2. Cap. VII. Ecuaciones Lineales Las soluciones de las integrales son: así y aplicando la condición inicial: se obtiene la solución particular:

Ejemplo: Resuelva la siguiente ecuación lineal: U-2. Cap. VII. Ecuaciones Lineales Ejemplo: Resuelva la siguiente ecuación lineal: Solución: La ecuación se escribe en su forma estándar (primero restando 2y y después dividiendo entre x). de manera que el factor integrante, mediante la aplicación de las propiedades de los logaritmos, resulta en

Así, la ecuación diferencial se transforma en U-2. Cap. VII. Ecuaciones Lineales Así, la ecuación diferencial se transforma en Por lo que su solución general se obtiene en la forma que resulta en

U-2. Cap. VII. Ecuaciones Lineales La solución de una ecuación diferencial lineal de primer orden debe ser general y completa. Suponiendo que se parte de una forma general que incluye las funciones generales p(x) y q(x), cuyo único requisito es que sean continuas, debe ser adecuado asumir que una ecuación lineal de primer orden siempre tiene una solución y que todas las soluciones están incluidas en la ecuación:

tiene una solución única en I, dada por U-2. Cap. VII. Ecuaciones Lineales Estos argumentos se resumen en el teorema de existencia y unicidad de la solución de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden: Si las funciones p(x) y q(x) son continuas en el intervalo abierto I que contiene el punto x0, entonces la ecuación diferencial lineal de primer orden tiene una solución única en I, dada por

U-2. Cap. VII. Ecuaciones Lineales El teorema afirma que, bajo condiciones especificas, el problema de valor inicial lineal de primer orden tiene una solución y que ésta es única. Es posible verificar que la ecuación lineal tiene, al menos, una solución mediante su sustitución en la ecuación generadora, para obtener una identidad. Con el valor de la constante C, obtenido a partir de la aplicación de la condición inicial, la solución representa una función única. La solución general incluye todas las soluciones posibles, es decir, la ecuación lineal no tiene una solución singular.