Apuntes 2º Bachillerato C.S. DETERMINANTES U.D. 3 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. DETERMINANTES U.D. 3.1 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

DETERMINANTE Determinante de una matriz cuadrada de orden n es el conjunto de nxn números ordenados de igual manera que en la matriz. En cuanto a su notación, sirve cambiar los paréntesis de la matriz por dos rayas verticales que comprendan dicho conjunto de números, ordenados en n filas y en n columnas. Ejemplo: |A| = Un determinante de orden 4 (4x4) será |A| = [Cuatro filas x cuatro columnas] @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. REGLA DE SARRUS REGLA DE SARRUS El valor de un determinante es la suma de los productos de todos los elementos de cada diagonal principal (de izquierda a derecha), menos la suma de los productos de todos los elementos de cada diagonal secundaria (de derecha a izquierda). Cada elemento aij del determinante formará parte de un producto positivo y de un producto negativo. Para determinantes [2x2]: |A| = a11.a22 - a12.a21 Para determinantes [3x3]: |A| = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a21.a32.a13 - - a13.a22.a31 - a12.a21.a33 - a11.a23.a32 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Determinante de orden 2 Sea el determinante de orden 2 Habrá únicamente 2 productos posibles: a11.a22 y a12.a21 El primer producto es positivo y el segundo negativo. El valor del determinante será: |A| = a11.a22 - a12.a21 Ejemplo 2 - 4 |A| = 3 5 |A| = 2.5 – (- 4).3 = 10 – (- 12) = 10+12 = 22 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Ejemplos de orden 2 Hallar el valor de los siguientes determinantes: + - @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Guía gráfica de Sarrus PRODUCTOS POSITIVOS PRODUCTOS NEGATIVOS a11 a12 a13 a11 a12 a13 a21 a23 A = a22 a21 a23 A = a22 a31 a32 a33 a31 a32 a33 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Determinante de orden 3 Sea el determinante de orden 3 1 2 3 |A| = 4 5 6 7 8 9 Por la Regla de Sarrus |A| = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a21.a32.a13 - - a13.a22.a31 - a12.a21.a33 - a11.a23.a32 |A| = 1.5.9 + 2.6.7 + 4.8.3 – 3.5.7 – 2.4.9 – 1.6.8 = = 45 + 84 + 96 – 105 – 72 – 48 = 225 – 225 = 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. MENOR NO NULO MENOR DE UN DETERMINANTE Se llama menor de un determinante nxn (n filas y n columnas) a cualquier otro determinante (n – k)x(n – k) que se pueda formar con parte de los elementos del primero, de forma que coincidan el índice i (de las filas) o el índice j (de las columnas). Ejemplo Sea el determinante 3x3: a11 a12 a13 |A| = a21 a22 a23 a31 a32 a33 Menores de dicho determinante serán, entre otros: a11 a12 a11 a13 a22 a23 a21 a22 , a31 a33 , a32 a33 , |a21|, |a23|, etc. Se llamará MENOR NO NULO si su valor es distinto de cero. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. RANGO DE UNA MATRIZ Es el orden del determinante de mayor menor no nulo de dicha matriz. El mayor determinante que podemos formar en de orden 3 (3x3). Como mucho su Rango vale 3 ; Rang (A) = 3 Ya vimos que |A| = 0, por lo que su rango no puede ser 3. Tomamos un determinante cualquiera de orden 2 1 2 |A| =  |A|= 5 – 8 = – 3 <> 0 , luego Rang A = 2 4 5 Sea la matriz 1 2 3 A = 4 5 6 7 8 9 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.