Análisis Estocástico de Series de Tiempo Auxiliar nº 2 CI61R-CI71C

OBJETIVOS Introducir el manejo estocástico de Series de Tiempo Entender y aplicar las diferentes fases generales para la modelación estocástica. Generar series sintéticas alternativas. Variable: Q Medios Mensuales del período Pluvial (Abril –Sep) y de Deshielo (Oct-Marzo)  Modelo Univariado (Los datos fueron entregados) Software a utilizar: SAMS - STATISTICA

MOTIVACIÓN: ¿PARA QUÉ GENERAR SERIES DE TIEMPO ALTERNATIVAS? Para estimar el escenario futuro es recomendable evaluar diferentes escenarios posibles bajo supuestos probabilísticos, que permitan identificar el grado de incertidumbre del proyecto.

PROCESO ESTOCÁSTICO Corresponde a una serie en que X1, X2, X3, … son variables aleatorias que cambian en el tiempo.  es por esto que los parámetros hidrológicos como caudales, precipitación, etc, pueden considerarse como realizaciones de un proceso estocástico. Para el Análisis Estocástico se tienen 2 Hipótesis: 1º Estacionareidad 2º Hergodicidad Un modelo matemático que representa un “Proceso estocástico” se llama Modelo Estocástico o Modelo de Serie de Tiempo. Principal finalidad de los Modelos Estocásticos: - PRONOSTICAR - GENERACIÓN SINTÉTICA

MODELO ESTOCÁTICO

UN PARÉNTESIS ANTES DE SEGUIR CON MODELOS ESTOCÁSTICOS… Chequeo de la normalización de la serie…  puesto que gran parte de la teoría de la Hidrología Estadística se ha desarrollado suponiendo que las variables se distribuyen normalmente Como? Transformaciones: - Cox-Box - Logaritmo X Chequeo de la Asimetría (S) y Kurtosis (K) (Momentos de 3º y 4º orden)  Serie Normal: S=0 y K=3 (Ojo, Excel K=0)

UN PARÉNTESIS ANTES DE SEGUIR CON MODELOS ESTOCÁSTICOS… Estandarización de la Serie…  Media = 0 y Desviación estándar = 1  Además se recomienda visualizar comportamiento de la serie para chequeo de estacionalidad  Tendencias de acuerdo a la estación (Pluvial – Deshielo), variación mensual, etc.

MODELACIÓN ESTOCÁSTICA 1º Hipótesis: ESTACIONAREIDAD  “que las propidades estadísticas no varíen en el tiempo” i.e., que el promedio, varianza y covarianza sean iguales para diferentes subgrupos de la serie histórica. Chequeo  2 métodos - determinar subconjuntos de la serie original y comparar estadísticos. - Convergencia de la ACF.

MODELACIÓN ESTOCÁSTICA Principales estadísticos que trata de igualar la Modelación Estocástica respecto de la Serie Histórica: - Media - Desviación estándar - Asimetría (alta incertidumbre y depende de la longitud de la muestra). - Autocorrelación (también está sujeta a gran incertidumbre especialmente en muestras breves)

FASES GENERALES PARA LA MODELACIÓN ESTOCÁSTICA SEGÚN SALAS ET. AL 1980. 1. Identificación de la composición del modelo.  ¿De qué manera se hará la modelación?… modelo Univariado o Multivariado… 2. Selección del Tipo de Modelo.  Analizar las caractarísticas estadísticas de la muestra, observar la ACF y la PACF… 3. Identificación de la Forma del Modelo.  Determinar la cantidad de parámetros del modelo… Parsimonia… 4. Estimación de los parámetros del modelo.  > 2·Error Estandar 5. Verificación de la bondad de ajuste del modelo.  Verificar Normalidad e Independencia de los Residuos

FASES GENERALES PARA LA MODELACIÓN ESTOCÁSTICA SEGÚN BOX ET. AL 1994 1. Realizar transformaciones a los datos originales. 2. Identificar el Modelo a utilizar 3. Estimar los parámetros usando la primera colección de datos o conjunto de entrenamiento (2/3). 4. Validar el Modelo usando una segunda colección de datos o conjunto de validación (1/3).

FASES GENERALES PARA LA MODELACIÓN ESTOCÁSTICA En general, la literatura especializada coincide en sugerir 3 etapas básicas para la modelación estocástica: Identificación del Modelo Estimación de Parámetros Verificación del Modelo (Según Box & Jenkins, 1976 y Salas et. Al 1980)

RESIDUO = RUIDO BLANCO… El residuo corresponde a la diferencia entre el valor real y el valor estimado: Se busca que la distribución de los residuos siga una La Incertidumbre de un proceso estocástico se mide a través de la varianza del error (o residuo),  se busca minimizar la varianza del error. Criterio de Akaike:  MEJOR MODELO MENOR AIC

PARSIMONIA… Un modelo es parsimonioso, cuando el número de parámetros (p+q+d) es el mínimo posible, que garantiza una baja incertidumbre (varianza del ruido blanco) Salas et. al, 1980, propone: Donde: N = tamaño muestra k = número de parámetros considerados

FUNCIÓN DE AUTOCORRELACIÓN… En general define la relación existente entre 2 grupos de variables. Box et. al, 1994, sugiere: autocorrelación de orden k Box et. al 1994. indica: “Para obtener una estimación útil de la función de autocorrelación, se necesita al menos 50 observaciones de la serie, y las autocorrelaciones calculadas para k=0,1,2,…k, donde k no necesita ser mayor a N/4 para obtener información relevante”

IDENTIFICACIÓN DEL MODELO ANÁLISIS VISUAL DE LA ACF Y PACF Traducción de gráficos (JP Perez et. al, 2002)… Un proceso autorregresivo de orden p presenta una función de autocorrelación con valores que decaen exponencialmente a cero, mientras que su función de autocorrelación parcial tiene precisamente p valores significativos (los demás están bajo el error estándar y son despreciables) Un proceso de media móvil de orden q tiene precisamente q valores significativos en su función de autocorrelación, mientras que los valores de su autocorrelación parcial decaen exponencialmente a cero. Si el proceso corresponde a una mezcla entre el proceso autorregresivo y uno de media móvil, entonces tanto su función de autocorrelación como su función de autocorrelación parcial presentarán un decaimiento exponencial a cero. Además, para una mezcla de procesos, que contenga ambas componentes, su función de autocorrelación corresponderá a una mezcla de exponenciales y ondas sinusoidales amortiguadas después de los primeros p-q retardos. Por otro lado, la función de autocorrelación parcial asociada presentará una mezcla de exponenciales y ondas sinusoidales amortiguadas después de los primeros p-q retardos.

DIAGNÓSTICO DEL MODELO ECM ECMN (Normalizado)  r2 = 1 – ECMN Otro…