ESTUDIOS PROFESIONALES PARA EJECUTIVOS CÁLCULO I SEMANA 2 - SESIÓN 1

Logro de la Sesión Al término de la sesión, el estudiante calcula derivadas de funciones en sus diferentes formas empleando las reglas de derivación.

Temario Reglas de derivación. Derivada de funciones implícitas.

¿Resultó fácil el trabajo? ¿Será igual de sencillo este trabajo? Reflexionemos ¿Recuerda el límite que permite calcular la derivada de una función f (x)? Use esta definición y calcule la derivada de ¿Resultó fácil el trabajo? Ahora, volviendo a usar la definición, calcule la derivada de ¿Será igual de sencillo este trabajo?

Reglas de Derivación si Si f y g son funciones derivables y c es una constante, entonces: Si f y g son funciones derivables y c es una constante, entonces: 1. 2. 3. 4. si 5. 5

Problema 1. Si f y g son funciones cuyas gráficas se muestra, sea 2. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva descrita por la ecuación en el punto (0;2).

Reglas de Derivación de funciones básicas 1. 2. 3. 4. 5. 6. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto (1; 1). Ilustre gráficamente la curva y la recta tangente. Ejemplo 7

Ejercicios Halle la derivada de:

Regla de la cadena Si g es derivable en x y f en g(x), entonces la función compuesta F = f ◦ g se define mediante Luego, F’(x) está dada por el producto: Observación Empleando la notación de Leibniz Sea y = f(u) donde u = g(x), si f y g son funciones diferenciables, entonces

Casos: Si g es derivable en x y f en g(x), entonces la función compuesta F = f ◦ g se define mediante 1. 2. 3. 4. 5.

Ejercicios Aplicando la regla de la cadena, obtenga la primera derivada de las siguientes funciones:

Derivada de las funciones trigonométricas x en radianes

Ejercicios Halle la derivada de las siguientes funciones:

Derivada de las funciones exponenciales Regla Cuando a = e: Aplicando la regla de la cadena 15

Ejercicio Encuentre Solución:

Derivada de las funciones logarítmicas Regla x > 0 Cuando a = e: Aplicando la regla de la cadena 17

Ejercicios Derive Halle Derive 18

Derivación implícita Cuando una variable se expresa en términos de otra variable se dice que está en forma explícita, por ejemplo: Pero hay casos donde no se puede despejar y en términos de x, por ejemplo: Para calcular en estos casos consideramos que la ecuación define localmente a y como función de x y que esta función es derivable. Al proceso de derivación se le denomina: derivación implícita 19

Derivada de funciones implícitas Dada la ecuación H(x; y) = 0, se desea encontrar y’. Método Derive con respecto a x ambos miembros de la ecuación, considerando siempre que y es función de x. 1 Despeje y’ en términos de x e y. 2 20

Ejemplos Halle dy/dx 21

Aplicaciones de la derivación implícita Problema 1: El folio de Descartes es una curva que tiene por ecuación Encuentre y’ Halle la ecuación de la recta tangente al folio de Descartes en el punto (3; 3) ¿En cuáles puntos de la curva se tiene que la recta tangente es horizontal? 22

¿Qué aprendiste hoy? En esta sesión revisamos los siguientes temas Reglas de derivación Regla de la cadena Derivación Implícita Derivación de funciones trigonométricas y logarítmicas

BIBLIOGRAFIA Cálculo de una variable Conceptos y Contextos Cuarta edición James Stewart