Apuntes 1º Bachillerato CT DERIVADAS Y GRÁFICAS U.D. 9 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

DERIVADA EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA U.D. 9.2 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Sea y = ex la llamada función exponencial. Aplicando la definición de derivada: f(x + h) ‑ f(x) ex+h – ex y ' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ = lim ----------------- = h0 h h0 h ex eh – ex ex (eh – 1) eh – 1 y ' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ = lim --------------- = ex lim --------- h0 h h0 h h0 h Para h=0,001  ex 1,0005 Para h=0,00001  ex 1,000005 Vemos pues que el límite final tiende a 1. Luego y’ = ex La derivada de la función exponencial es la misma función exponencial. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

DERIVADA DE FUNCIONES EXPONENCIALES Sea y = ax , para a > 0 y a <> 1. Haciendo un cambio de base: y = ax  ln y = x. lna  y = ex.lna Aplicando la Regla de la cadena: y = ex.lna = (ex)lna y’ = ln a.(ex)lna – 1. ex y’ = ln a.ex.lna. ex / ex y’ = ln a.exlna = ln a. ax Sea y = af(x) , para a > 0 y a <> 1. y = af(x)  ln y = f(x). lna  y = ef(x).lna y = ef(x).lna = (ef(x))lna y’ = ln a.(ef(x))lna – 1. ef(x) f’(x) y’ = ln a.ef(x).lna. f’(x).ef(x) / ef(x) y’ = ln a. f’(x) . af(x) @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT EJEMPLOS @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT EJEMPLOS @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

DERIVADA FUNCIÓN LOGARÍTMICA MEDIANTE LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA Sea f(x) = ex  y = ex  x = ln y  (f-1)(x) = ln x Vemos f (f-1)(x) = x , pues eln x = x Derivamos ambos lados de la igualdad: e ln x . ( ln x )’ = 1  ( ln x )’ = 1 / eln x = 1 / x MEDIANTE LA DEFINICIÓN DE DERIVADA Sea y = ln x ln (x+h) - ln x ln (x+h)/x 1 y ' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑- = lim ---------------- = lim ----- ln (x+h)/x = h0 h h0 h h0 h 1/h h 1/h. x/x 1/x = lím ln [(x+h)/x] = lim ln (1+ --- ) = ln e = 1 / x h0 h0 x Luego si f(x) = ln x  f ’(x) = 1 / x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

DERIVADA FUNCIÓN LOGARÍTMICA Sea f(x) = log x Se procede a un cambio de base: 10y = x  ln10y = lnx  y ln10 = Ln x  y = ln x / ln 10 Queda: 1 1 1 1 f(x) = -------.lnx  f ‘(x) = -------. ---- = ---------- ln10 ln 10 x x.ln10 Sea f(x) = loga x ay = x  ln ay = ln x  y.lna = Ln x  y = ln x / ln a Y derivando: 1 y ' = --------- x. ln a @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Derivada del logaritmo de una función Sea f(x) = ln g(x) Aplicando la regla de la cadena: 1 g‘(x) f ‘(x) = ------ . g ’(x) = ---------- g(x) g(x) Fórmula que sólo es válida para logaritmos neperianos. Si el logaritmo no es neperiano, se procederá a un CAMBIO DE BASE. Sea f(x) = log g(x) o f(x) = loga g(x) Aplicando un cambio de base: g(x) = 10y  y = ln g(x) / ln 10 Aplicando un cambio de base: g(x) = ay  y = ln g(x) / ln a 1 g‘(x) 1 g‘(x) y ' = -------- . ----------- o y ‘ = -------- . ---------- ln 10 g(x) ln a g(x) @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejemplos y = ln (x – 2.x3)  y’ = (1 – 6.x2) / ( x – 2.x3) y = ln (x3 + ex)  y’ = (3.x2 + ex) / (x3 + ex) y = log (x . e-x)  y’ = [e-x + x .(- e-x)] / (x . e-x).ln10 y = ln (x2.(3x – 2))  y’ = (2x.(3x – 2) + x2.3) / (x2.(3x – 2)) y = log5 (x3.3x)  y’ = (3x2.3x + x3.3x.ln3) / (x3.3x).ln5 y = ln [(x2 – 3) / x ]  y’ = [2x.x – (x2 – 3)] / x2. [(x2 – 3) / x ] = [x2 + 3] / [(x4 – 3x2) / x] = (x3+3x)/(x4 – 3x2) = (x2 + 3) / (x3 – 3.x) y = (x – 1). ln x  y’ = ln x + (x – 1) / x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejemplos propuestos y = 3 / log x y = x / ln x y = (x – 1) / log4 ( x – 1) y = log2 ( - 2.x3 ) + log3 (4.x – 1) y = ln (x4 + 5). log x y = ln (x3 + 5x) / ln x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

DERIVADAS DE FUNCIONES POTENCIAL-EXPONENCIALES g(x) Sea y = f (x) , función POTENCIAL-EXPONENCIAL Tomando logaritmos neperianos: ln y = g(x). ln f(x) Derivamos ambos lados de la igualdad: y ‘ / y = [ g ‘ (x). ln f(x) + g(x). ( f ‘(x) / f(x) )]  y ‘ = y . [ … ]  y ‘ = f (x) . [ g ‘ (x). ln f(x) + g(x). ( f ‘(x) / f(x) ) ] Nota: Dada la dificultad de memorizar la expresión parece más práctico aprender el método, teniendo éste la ventaja de poder ser utilizado en todo tipo de expresiones exponenciales. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT EJEMPLOS y = x3 – x  ln y = (3 – x).ln x   y’ / y = [ (– 1).ln x + (3 – x).1/x ]  y’ = y.[…] y = (ln x)x  ln y = x.ln(ln x)   y’ / y = [ 1.ln(ln x) + x.(1/x)/ln x ]  y’ = y.[…] y = (x2 – 3.x) 2.x – 1  ln y = (2.x – 1).ln (x2 – 3.x)   y’ / y = [ 2. ln (x2 – 3.x) + (2.x – 3)/(x2 – 3.x) ]  y’ = y.[…] y = (x – 1) ln x  ln y = ln x . ln (x – 1)   y’ / y = [ (1/x).ln (x – 1) + ln x.(1/(x – 1) ]  y’ = y.[…] y = (√x) 3x + 5  ln y = (3.x + 5).ln √x   y’ / y = [ 3. ln √x + (3.x + 5).(1 / 2√x) / √x ]  y’ = y.[…] @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT