SEMANA 7 – Sesión presencial 1 ESTUDIOS PROFESIONALES PARA EJECUTIVOS CÁLCULO 2 SEMANA 7 – Sesión presencial 1

Contenidos Teorema de Stokes. Consecuencias del teorema de Stokes.

Superficies orientadas La figura muestra una superficie orientada con vector normal unitario n. La orientación de S induce la orientación positiva de C que se ve en la figura. Esto significa que si caminamos en una dirección positiva alrededor de C con la cabeza apuntando en la dirección de n, entonces la superficie estará siempre a nuestra izquierda. 3

Teorema (de Stokes) Sea S una superficie orientada, suave por partes, que está acotada por una curva C de frontera, simple, cerrada suave por partes, que tenga orientación positiva. Sea F un campo vectorial cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas en una región abierta de R3 que contiene a S.             5

Consecuencias del teorema de Stokes Cálculo de integrales curvilíneas mediante integrales de superficie. En lugar de calcular se puede hallar si es sencillo y S es una superficie simple cuyo borde es C. Ejemplo 1 Evalúe si y C es la frontera de la parte del plano en el primer octante orientada en sentido antihorario vista desde arriba. 5

Consecuencias del teorema de Stokes Cálculo de una integral de superficie de un rotacional mediante una integral curvilínea. En lugar de calcular , se puede calcular si en el borde C de S el producto es sencillo. Ejemplo 2 Evalúe si y S es la semiesfera ; orientada hacia fuera. 6

Consecuencias del teorema de Stokes Integral cerrada de un campo conservativo en el espacio R3 Si la curva C es simple, cerrada y suave por secciones, el campo F tiene componentes con derivadas parciales continuas y se cumple que , entonces . Ejemplo 4 Evalúe si siendo C la curva de intersección de la esfera con el plano . 7

Consecuencias del teorema de Stokes Cálculo de una integral de superficie de un rotacional cambiando por otra superficie. En lugar de calcular , se puede calcular si ambas superficies tienen el mismo borde y S2 es más sencilla. Ejemplo 3 Evalúe si , S es la tapa y los cuatro lados (no el fondo) del cubo con vértices orientada hacia afuera. 8

Ejercicios

Evalúe si , siendo C la curva de Ejercicio 1: Evalúe si , siendo C la curva de intersectar el plano y + z = 2 y el cilindro orientada en sentido antihorario vista desde arriba. 12

Ejercicio 2: Calcule el flujo de , si , a través de la superficie S, que es la parte del semiesfera dentro del cilindro 111

No olvides que… La orientación de la curva que es el borde de una superficie, determina la orientación de esta superficie. El flujo del rotacional sobre una superficie se puede determinar sobre otra superficie que compartan el mismo borde(frontera) 15

Reflexiona un momento Si un campo vectorial en el espacio cumple las condiciones de teorema de Stokes y entonces ¿Cuál es el valor de ? 16

Revisemos…. Teorema de Stokes Aplicaciones del teorema de Stokes En esta sesión revisamos los siguientes temas TEMA Integrales de superficie sobre campos vectoriales Teorema de Stokes Aplicaciones del teorema de Stokes 17

Resuelva los ejercicios adicionales libro (STEWART) ejercicios de la Sección 16.8 Página 1097 Problemas 1-11.

Bibliografía STEWART, James, (2010) Cálculo de varias variables: conceptos y contextos , 4a edición. México D.F.: Cengage Learning

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