Estados Planos de Tensión Circunferencia de Mohr Curso de Estabilidad IIb Ing. Gabriel Pujol Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

Para el estado tensional dado en la figura es de nuestro interés: x y z tXY sX sy tYX Construir la circunferencia de Mohr y mediante ella determinar: Las magnitudes y dirección de las tensiones principales (s1 ; s2 ; s3) Las componentes de tensión en un plano que forma un ángulo  con el eje x. Son datos del problema: sX ; sY ; sZ=0 ; tXY=tYX ; tXZ=tZX =tZY=tYZ =0; Para el estado tensional dado en la figura es de nuestro interés:

La determinación de las tensiones puede obtenerse utilizando un método gráfico. Las ecuaciones del Estado Plano de Tensiones son: elevando al cuadrado, sumando y simplificando obtenemos: si llamamos y sustituimos en la ecuación anterior obtenemos: que constituye la ecuación de una circunferencia de radio R y centro en un punto “C” de coordenadas xC e yC = 0. Esta circunferencia se denomina Círculo de Mohr. las coordenadas de cada punto de esta circunferencia representan las tensiones  y  trazadas a cada uno de los infinitos planos que pasan por el punto. Un estado tensional plano o bidimensional, es aquel en el que uno de los planos está libre de tensiones

Procedemos al trazado del círculo de Mohr Se considera positiva la tensión normal de tracción y negativa de compresión. La tensión tangencial es positiva si el momento respecto del centro del elemento es en sentido horario. Procedemos al trazado del círculo de Mohr

Procedemos al trazado del círculo de Mohr N Defino el punto N tYX sX sY tXY M Defino el punto M Sobre un sistema de ejes coordenados  -  se ubican los puntos de coordenadas (x;xy) y (y;yx) estos puntos representan las tensiones normales y tangenciales que actúan sobre las caras X e Y de un elemento. Procedemos al trazado del círculo de Mohr

Procedemos al trazado del círculo de Mohr sX tXY M tYX sY N B A Defino los puntos A y B Círculo de Mohr C Uniendo M con N donde corta al eje de abscisas tenemos el centro C. Con radio CM se traza la circunferencia Mohr. Procedemos al trazado del círculo de Mohr

Definimos la Tensiones y Direcciones Principales sX tXY M tYX sY N B A s3 = 0 s2= =s1 Los puntos A y B donde la circunferencia intercepta al eje de abscisas determinan las tensiones normales principales. La tercera tensión normal principal corresponde a s3=0 Definimos la Tensiones y Direcciones Principales

Definimos la Tensiones y Direcciones Principales sX tXY M tYX sY N B A s2= =s1 s3 = 0 // a t por N P Polo // a s por M Trazando por M, de coordenadas (X;XY), una paralela al eje s y por N, de coordenadas (Y;YX), una paralela al eje t, defino el polo P del círculo de Mohr. Definimos la Tensiones y Direcciones Principales

Definimos la Tensiones y Direcciones Principales sX tXY M tYX sY N B A s2= =s1 s3 = 0 P dirección ppal 2 dirección ppal 1 2q q+½p q Determinado P, se lo une con A y B, siendo sus trazadas las direcciones de las tensiones principales de valor q y q+½p. Los planos principales serán perpendiculares a estas direcciones. Definimos la Tensiones y Direcciones Principales

Cálculo de las Tensiones respecto a una dirección “a” dada sX tXY M tYX sY N B A s2= =s1 s3 = 0 P q 2q a D ta sa q+½p Si dada la dirección (u) queremos conocer las tensiones según ella, trazamos por P una paralela a u que corta a la circunferencia en D; la abscisa y ordenada de D nos dan a, y  a. Cálculo de las Tensiones respecto a una dirección “a” dada

Cálculo de los esfuerzos Cortantes Principales Trazo las tg a la circunferencia C t s sX tXY M tYX sY N B A s2= =s1 s3 = 0 P q 2q Graficamos las otras dos familias de circunferencias de Mohr tMax tMin q+½p Siempre es el círculo que está entre los esfuerzos principales mayor y menor el que determina el esfuerzo cortante máximo. En este caso, el esfuerzo principal igual a cero es el menor s3=0 Cálculo de los esfuerzos Cortantes Principales

Bibliografía Estabilidad II - E. Fliess Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo Mecánica de materiales - F. Beer y otros Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana Resistencia de materiales - V. Feodosiev Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer Resistencia de materiales - S. Timoshenko

Muchas Gracias