Dr. Rogerio Enríquez Caldera (Graficas: Dr. Gustavo Rodríquez) Física I Dr. Rogerio Enríquez Caldera (Graficas: Dr. Gustavo Rodríquez)

Vectores Definiciones Operaciones Básicas Componentes Vectores en 2D y 3D Magnitud Unidades Marcos de referencia

Notación Se empleará la siguiente notación: La recta de los números reales es denotada por El conjunto de los pares ordenados (x,y) es denotado por El conjunto de las ternas ordenadas (x,y,z) es denotado por ℝ³ ℝ ℝ²

Vectores en 2D y 3D Los puntos P en el plano se representan por pares ordenados de números reales (a1, a2) Los números a1 y a2 se llaman coordenadas cartesianas de P y P = (a1,a2) a2 x a1

Vectores en 2D y 3D Los puntos P en el espacio se representan por ternas ordenadas de números reales (a1, a2, a3) Los números a1, a2 y a3 se llaman coordenadas cartesianas de P z P = (a1,a2,a3) a3 a2 y a1 x

Representación geométrica del punto (2,4,4)

Vectores Vectores: segmentos de rectas dirigidos en el plano o el espacio con un inicio y un final Los segmentos de recta que se obtienen uno de otro por traslación representan el mismo vector

Suma Vectorial y Multiplicación por un Escalar Dadas dos ternas (a1, a2,a3) y (b1,b2,b3) definimos la suma vectorial como Dadas un escalar y un vector (a1, a2,a3) definimos el producto escalar por medio de

Propiedades de los Vectores Elemento cero Inverso aditivo

Propiedades de la Suma y Multiplicación Escalar

Geométricamente los vectores son flechas que salen del origen

Los vectores son segmentos de recta dirigidos en [el plano o] el espacio representados por segmentos de recta dirigidos con un inicio (cola) y un final (punta). Los segmentos de recta que se obtienen uno de otro por traslación paralela (pero no rotación) representan el mismo vector. Las componentes (a1,a2,a3) de a son las longitudes (dirigidas) de las proyecciones de a a lo largo de los tres ejes coordenados. La suma de dos vectores se obtiene colocándolos final con inicio y trazando el vector que va del inicio al final del segundo.

Vector Que Une Dos Puntos

El Vector Que Une Dos Puntos Si el punto P tiene coordenadas (x, y, z) y P’ tiene coordenadas (x’, y’, z’) entonces el vector PP’ de la punta de P a las punta de P’ tiene componentes

Distancia Dados dos vectores a = a1i+a2j+a3k y b = b1i+b2j+b3k, la distancia entre los puntos finales de a y b se define como z b a x

Suma de vectores (a) b a a+b b

Suma de Velocidades Una ave volando con velocidad v1, velocidad el viento v2. Velocidad resultante v1 + v2

Suma de Vectores (b)

Equivalencia Geométrica con Algebraica Equivalencia de la definición de suma vectorial en forma geométrica y algebraica.

Interpretación Geométrica Multiplicación Escalar por un Vector

Interpretación Geométrica de la Resta de Dos Vectores

Distancia Dados dos vectores a = a1i+a2j+a3k y b = b1i+b2j+b3k, la distancia entre los puntos finales de a y b se define como z b a x

Suma de los Vectores u + v y -2u

Multiplicación de (-1,1,2) por -2

Base Canónica Existen tres vectores especiales a lo largo de los ejes x, y, z: i: (1,0,0) J: (0,1,0) k: (0,0,1) Sea (a1, a2,a3) entonces a = a1i+ a2j+ a3k z k y j i x

Base Canónica Representación del vector (2,3,2) en términos de la base canónica

Los Tres Planos Coordenados

Producto Interno Dados dos vectores a = a1i+a2j+a3k y b = b1i+b2j+b3k, el producto interno de a y b se define como Nótese que el producto interno es un escalar.

Producto Interno Propiedades del producto interno. Sean a, b, c vectores en ℝ³ y números reales, entonces

Longitud Dado un vector a = a1i+a2j+a3k en ℝ³ definimos su longitud como z P = (a1,a2,a3) a3 a2 y a1 x

Vectores Normalizados Dado el vector a = a1i + a2j + a3k diferente de cero, para normalizarlo forme el vector

Ejemplos Normalizar el vector v = 15i – 2j + 4k. Solución La normalización del vector v está dada por

Ejemplos Defina en el plano el vector Observe que es un vector Unitario.

Vectores Ortogonales Si a y b son vectores diferentes de cero y es el ángulo entre ellos. Entonces si y sólo si los vectores son ortogonales. Ejemplo Los vectores de la base canónica i, j, k, son ortogonales entre si. Los vectores y son ortogonales.

Vectores Ortonormales

A a B

A cB B

A C Por tanto A = k B + C a K B B

A C Por tanto A = k B + C a K B B ¿Cómo despejar o reslover para k?

Usemos lo que conocemos: i) Ortogonalidad o perpendicularidad ii) Producto punto

Por otro lado:

A a B

A a K B B cos (180 – a ) = cos 180 cos a + sen 180 sen a = cos a

a B A

u x u A a B A

Por tanto si A es unitario u B = || u || || B || cos a = Bu Y por tanto si || B || solo escribimos B Bx = B cos a By = B sen a porqué? Y asi B = ux B cos a + uy B sen a = B ( ux cos a + uy sen a )

Ejemplos Calcule el angulo entre los vectores A = 2i + 3j – k y B = - i + j + 2k Solución: Usando

Reflexiones Ángulo en grados o en radianes Se mide con respecto a que? Ejemplo en el Planeta Tierra

Ejemplos Encuentre los angulos que forma el vector A = 2i + 3j + 2k con los ejes x & z Solución

Base Canónica Representación del vector (2,2,2) en términos de la base canónica

A x B No es conmutativa A x B = - B x A Es asociativa? Es distributiva ? | A x B | = A B sen q

Significado Físico?