Números complejos

Indice Historia…………………………………..… diap. 3 Definición de número complejo……….…. 6 Operaciones en C…………..……………. 12 Forma polar………………………………… 20 Ejercicios…………………...……………… 29 Fórmula de Moivre…………………………. 35 Aplicaciones geométricas…………………. 38

Historia Al igual que sucedió con el nacimiento de los números enteros, racionales y reales, los números complejos surgen para dar solución a un problema existente: no había ningún número conocido que pudiera ser solución de ecuaciones como

Los complejos aparecen, por primera vez, en el libro Ars magna del italiano Cardano, publicado en 1545. Bombelli (Bolonia, 1526), que conocía el libro de Cardano, fue el primero en trabajar con expresiones del tipo

Durante el siglo XVII los matemáticos estaban absortos con la aparición del Cálculo infinitesimal y los números complejos fueron relegados (Newton y Leibnitz nunca se ocuparon de ellos). Únicamente Wallis en 1673 dio una primera interpretación geométrica de los nuevos números. En 1806 el francés Argand representa ya los números complejos como puntos del plano tal y como hacemos hoy. En 1831 Gauss publica un trabajo donde expone las propiedades de los números de la forma a+bi. Desde ese momento, gracias al prestigio de Gauss, se inicia un desarrollo sostenido de la teoría de las funciones de variable compleja ( Cauchy, Rieman,…)

Definición de número complejo

Un Número Complejo es un par ordenado de números reales (a, b). Tenemos así definido el conjunto de los complejos C C ={(a, b) / a, b ϵ R} Así un nº complejo será z = (a, b). Esta es la forma cartesiana del número z se representa en el plano como el punto (a, b) A la primera componente del par, a, se le llama parte real, Re(z) = a, y a la segunda componente, b, parte imaginaria, Im(z) = b Si a = 0 diremos que z es imaginario puro. Si b = 0 diremos que z es un número real. Dos números complejos z y w son iguales si, y sólo si, Re(z) = Re(w) e Im(z) = Im(w)

Podemos expresar un número complejo en forma binómica z = a + bi, donde i es la unidad imaginaria, siendo i2 = -1.

También un número complejo, z = a + bi, lo representaremos por un vector que tiene su origen en O, el origen de coordenadas del plano, y por extremo el punto P(a, b). A este punto P le llamamos afijo de z

(C, +) es un grupo conmutativo Operaciones en C Suma Dados dos números complejos z = a + bi y w = c + di, Definimos z + w = (a + c) + (b + d) i Propiedades de la suma. Si z; w; v ϵ C se verifica: 1 Es una ley de composición interna: z + w ϵ C 2 Conmutativa: z + w = w + z. 3 Asociativa: (z + w) + v = z + (w + v). 4 Existe un elemento neutro para la suma, el 0 = 0 + 0i tal que z + 0 = 0 + z = z para todo z ϵ C 5 Cada numero complejo z = a + bi tiene un elemento opuesto -z = -a + (-b) i tal que z + (-z) = 0. (C, +) es un grupo conmutativo

Producto Dados dos números complejos z = a + bi y w = c + di se define el producto : z · w = (a · c - b · d) + (a · d + b · c) i Propiedades del producto. Si z; w; v ϵ C se verifica: 1 Es una ley de composición interna: z · w ϵ C 2 Conmutativa: z · w = w · z. 3 Asociativa: (z · w) · v = z · (w · v). 4 Existe un elemento neutro para el producto, el 1 = 1 + 0i tal que z · 1 = 1 · z = z para todo z ϵ C. 5 Cada número complejo z = a + bi ≠ 0 tiene un elemento inverso z -1 tal que z ·z-1 = z-1 · z = 1. si z = a + bi ≠ 0 se tiene que

En efecto, sea z-1 = c + di z · z-1 = (a + bi) · (c + di) = (ac -bd) + (ad + bc) = 1 + 0i luego (1) ac - bd = 1 (2) ad + bc = 0 no siendo a y b simultáneamente ceros Si a ≠ 0 de (2) sustituyendo en (1)

Si a = 0 entonces b ≠0, despejaríamos c en (2) y al sustituir en (1) se llega al mismo resultado. Por tanto si z = a + bi ≠ 0 se tiene que

Además se verifica la propiedad distributiva del producto respecto de la suma z · (w + v) = z · w + z · v Por tanto (C, +, ·) es un cuerpo

Conjugado de un número complejo Sea z = a+bi un número complejo. Se define el conjugado de z, y se representa por

Para dividir dos números complejos z/w podemos hacer z · w-1 o también es decir, multiplicando numerador y denominador por el conjugado de w

Módulo de un número complejo Se define el módulo del número complejo z = a + bi y se representa por |z|, como Forma polar o trigonométrica de un número complejo A un número complejo z = a + bi le corresponde el punto P del plano de coordenadas (a, b). Si representamos por r la longitud del segmento OP; que une el origen O de coordenadas y P, y por α el ángulo que forma OP con el semieje positivo de abscisas, se dice que (r; α) son las coordenadas polares del punto P.

Consideraremos, por tanto, que z ≠ 0. Si r = 0, es decir, si P = (0, 0) entonces el ángulo α no está definido. Consideraremos, por tanto, que z ≠ 0. A α lo llamaremos argumento de z y lo representaremos por arg (z). y tg α = b/a = =

Dos números complejos z = r (cos α + i sen α) y w = s (cos β + i sen β) son iguales si y sólo si r = s y α - β = 2kπ (k ϵ Z)

Producto de dos números complejos en forma trigonométrica Sean los números complejos z = r (cos α + i sen α) y w = s (cos β + i sen β) z · w = (r · s) [(cos α + i sen α) (cos β + i sen β)] = = (r · s) [( cos α cos β - sen α sen β) (cos α sen β + sen α cos β)i] = = (rs) [cos (α + β) + (sen(α + β)i] En forma polar sería

luego s= 1/r y β = -α Inverso de un número complejo en forma polar z = Cociente de números complejos en forma polar = /

Potencia de un número complejo Potencias de la unidad imaginaria i i = 0 + 1i r = 1 α =π/2 io = 1 i1 = i i2 = -1 i3 =-i i4 = 1 i5 = i i6 = -1 i7 = -i ......

Raíz n-ésima de un número complejo equivale a decir que = k = 0, 1, 2, ......., n-1

Ejercicios Calcula

α = arc tg (- ) = 5π/3 Calcula 3π/2 < α < 2π

π/2 < α < π α = arc tg ( )= 4π/3 Calcula = = π/2 < α < π α = arc tg ( )= 4π/3 = =

Calcula = = k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5

En general, las raíces n-ésimas de un número complejo son los vértices de un polígono regular de n lados centrado en el origen de coordenadas

Fórmula de De Moivre: (cos α + i sen α)n = cos nα + i sen nα En efecto: (cos α + i sen α)n = cos nα + i sen nα

(cos α + i sen α)3 = cos 3α + i sen 3α (cos α + i sen α)3 = = cos3 α + i 3 cos2 α sen α + + 3 cos α i2 sen2 α + i3 sen3 α = = (cos3 α - 3 cos α sen2 α) + i (3 cos2 α sen α - sen3 α) De donde cos 3α = cos3 α - 3 cos α sen2 α sen 3α = 3 cos2 α sen α - sen3 α

A este resultado se puede llegar también utilizando las fórmulas trigonométricas de seno y coseno de la suma de dos ángulos sen 3α= 2 sen α cos α cos α + (cos2 α - sen2 α) sen α = = 2 sen α cos2 α + cos2 α sen α - sen3 α = = 3 sen α cos2 α - sen3 α cos 3α = cos (2α + α) = cos (2α) cos α - sen (2α) sen α = = (cos2 α - sen2 α) cos α – 2 sen α cos α sen α = = cos3 α - 3 sen2 α cos α

Aplicaciones geométricas

La suma de complejos se puede interpretar como una traslación z´ = (x+r, y+s) z= (x,y) Sea a ϵ C, ta : C C ta (z) = z´ a = (r, s)

El producto de un complejo por 1α se puede interpretar como un giro de centro (0,0) y amplitud α Sea α ϵ R, gα :C C gα (z) = 1α · z z´ z

Si α = π tendremos una simetría central como un caso particular de giro

Si deseamos que el giro sea con centro en un punto C La operación será z ´ = c + (z – c) · 1α gc,α (z) = c + (z – c) · 1α z´ z

Contacto: jgcrisostomo74@gmail.com En Madrid, Abril de 2015