Modulo Sea z=(a +bi) un número complejo cualquiera. Llamaremos módulo del número complejo z, al número real dado por y lo denotaremos por lzI. El módulo.

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2 Modulo Sea z=(a +bi) un número complejo cualquiera. Llamaremos módulo del número complejo z, al número real dado por y lo denotaremos por lzI. El módulo se interpreta como la distancia al origen del número z. Argumento Otro nombre para la variable independiente. Por ejemplo, en la función y = sen(x), "x" es el argumento e "y" es el valor de salida de la función

3 REPRESENTACION GRAFICA: MODULO Y ARGUMENTO UN NÚMERO COMPLEJO Z = Α+IΒ PUEDE CONSIDERARSE COMO UN PAR ORDENADO DE NÚMEROS REALES (Α,Β). SIENDO Α LA ABSCISA Y Β LA ORDENADA. ASÍ PUES, LA IDENTIFICACIÓN ENTRE EL NUMERO COMPLEJO Z Y EL PAR (RE(Z), IM(Z)) NOS PERMITE REPRESENTAR GRÁFICAMENTE UN NUMERO COMPLEJO COMO UN PUNTO DEL PLANO, QUE DENOMINAREMOS PLANO COMPLEJO,4 EN EL QUE EL EJE DE ABSCISAS PASA A LLAMARSE EJE REAL Y EL EJE DE ORDENADAS EJE IMAGINARIO.

4 También podemos representar los números complejos como vectores en el plano, de manera que el numero complejo z = α + iβ puede identificarse con el vector que une los puntos (0,0) con (α,β) en el plano. Esta otra representación permite identificarse elementos importantes de un numero complejo como son su módulo y su argumento. Llamaremos módulo de un número complejo z = a+bi a la longitud de su radio vector. Aplicando el teorema de Pitágoras, tendremos que:

5 Como se puede observar, el módulo de un número complejo coincide con el módulo del vector (la longitud) que lo representa, y es igual a la distancia entre el punto del plano correspondiente al número complejo y el origen, siendo por tanto un número real positivo salvo en el origen, cuyo módulo, obviamente, es cero. Si z ∈ R, entonces su módulo coincide con su valor absoluto, de ahí que la notación empleada sea la misma. modulo

6  Si z 2 R, entonces su modulo coincide con su valor absoluto, de ah que la  notación empleada sea la misma. módulo

7  Dado un numero complejo z = + i 6= 0 se deje el argumento de z, y se  notara por arg(z), al conjunto  arg(z) = f 2 R : = jzj cos ; = jzj sen g  El argumento de 0 no esta definido.  Se denomina argumento principal de z 2 Cnf0g, y se notara por Arg(z), al  único numero 2 arg(z) tal que <. modulo

8 Gracias a la representación grafica, la operación de conjugación puede verse de forma sencilla en términos del módulo y el argumento. Mas concretamente, el conjugado de un numero complejo corresponde a un vector simétrico respecto del eje real, por lo tanto posee el mismo módulo y opuesto argumento, es decir,  jzj = jzj; arg(z) = arg(z)  Del mismo modo, la suma de numeros complejos corresponde a la suma de vectores que el lector conocerá de cursos anteriores, la conocida como regla del paralelogramo. módulo

9  Ejemplo: calcule el módulo del complejo Z= -6 -9i  Para calcularlo utilizaremos la formula Z= √a²+b²  Z= √ (-6)² + (-9)²= √36+81 = √117 = 10.82 Para determinar el argumento: : 180° + arctg (b/a) = 180° + arctg (9/6) =180° + 56.31= 236.31

10 -9 -6 x y

11  1er cuadrante = arctg (b/a)  2do cuadrante = 180°- arctg (b/a)  3er cuadrante = 180° + arctg (b/a)  4to cuadrante = 360° arctg (b/a)

12 2 2 2 2 2 22 2 2

13 222 es igual al modulo sin conjugar 22