UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA COORDINACIÓN DE MATERIAS PROPEDÉUTICAS LICENCIATURA DE INGENIERÍA CIVIL MÉTODOS NUMÉRICOS “Cifras significativas, Exactitud y Precisión” María de los Ángeles Contreras Flores Agosto 2016

Contenido Guión explicativo Introducción Objetivo Cifras significativas Reglas para establecer cifras significativas Convenio de cifras significativas Exactitud y precisión Resumen Bibliografía Referencias mesográficas

Guión explicativo El curso de Métodos Numéricos forma parte del tronco de materias propedéuticas de la Facultad de Ingeniería y, es de carácter obligatorio para los alumnos de las licenciaturas de Ingeniería Civil, Mecánica, Electrónica y Sistemas Energéticos Sustentables. En la licenciatura de Ingeniería en Computación, tiene el carácter de optativa bajo el nombre de Cálculo Numérico. El presente material ha sido realizado en función de las características de dicha unidad de aprendizaje, la unidad temática I y el contenido de la misma.

Guión explicativo El tema de “cifras significativas, exactitud y precisión” que aquí se presenta, tiene la intención de explicar a los alumnos la importancia de utilizar apropiadamente la cantidad de dígitos que generen resultados confiables, así como las implicaciones de su uso en los diferentes métodos numéricos. La adecuada comprensión de estos conceptos, permitirá al alumno detectar, estimar y controlar los errores con los que estará interactuando a lo largo del curso.

Introducción La mayor parte de los métodos numéricos que se ven en el curso son sencillos tanto en su descripción como en su aplicación. Sin embargo, no se debe perder de vista que son métodos iterativos que trabajan con valores aproximados y que la diferencia obtenida respecto al valor exacto provocará un “sesgo” en el resultado, motivo por el cual es muy importante entender el concepto de error y para lograrlo, resulta útil repasar algunos conceptos básicos relacionados con la aproximación de números.

Objetivo Comprender los conceptos de cifras significativas, exactitud y precisión.

Cifras significativas

Concepto Cuando se realizan cálculos en el aula, la típica pregunta que realizan los estudiantes es: ¿Cuántos decimales utilizamos?

Esta pregunta, generalmente, tiene una amplia variedad de respuestas y en algunos casos alguien, sin justificación alguna, da como respuesta: usa tres o cuatro cifras, no uses muchas, o bien, utiliza las que quieras. 0.00418 0.00025

Si estos mismos estudiantes hacen la misma pregunta en otros cursos y reciben respuestas parecidas, pensarán entonces que no existe ninguna consecuencia en los resultados obtenidos y se acostumbrarán a no darle importancia a los dígitos utilizados, propiciando que cada quién escriba los resultados como mejor les parezca.

Se debe tener presente que al utilizar números para realizar cálculos, debe existir la seguridad de que pueden utilizarse con confianza, es por ello que ha sido desarrollado el concepto de cifras o dígitos significativos y es utilizado para designar formalmente la confiabilidad de un valor numérico (Chapra & Canale, 2013)

Ejemplo Los números: tienen cuatro cifras significativas. Chapra (Chapra & Canale, 2013) define a las cifras significativas de un número, como aquellas que pueden utilizarse de forma confiable. Los ceros, en algunos casos causan confusión, ya que no siempre son cifras significativas y sólo son utilizadas para ubicar el punto decimal. 0.003527 0.0003527 0.00003527

Reglas para establecer cifras significativas de un número dado

Regla 1 En números que no contienen ceros, todos los dígitos son significativos. Ejemplos 3.14159 tiene seis cifras significativas. 8.342 tiene cuatro cifras significativas

Regla 2 Todos los ceros entre dígitos significativos son significativos. Ejemplos 3.057 tiene cuatro cifras significativas. 708 tiene tres cifras significativas.

Regla 3 Los ceros a la derecha del primer dígito que no es cero sirven solamente para fijar la posición del punto decimal y no son significativos. Ejemplos 0.0085 tiene dos cifras significativas 0.00000857 tiene tres cifras significativas. 0.09768 tiene cuatro cifras significativas.

Regla 4 En un número con dígitos decimales, los ceros finales a la derecha del punto decimal son significativos. Ejemplos 0.0850 tiene tres cifras significativas 30.00 tiene cuatro cifras significativas.

Regla 5 Si un número no tiene punto decimal y termina con uno o más ceros, estos ceros pueden o no ser significativos. Para especificar el número de cifras significativas, es necesaria más información. Expresar el número en notación científica, ayuda a evitar confusiones. Para indicar que dichos ceros son significativos solo se escribe el punto decimal. Si el punto decimal no se escribe, quiere decir que dichos ceros no son significativos. Ejemplos 5400 tiene dos cifras significativas 5400, tiene cuatro cifras significativas.

Regla 6 Los números exactos tienen un número finito de cifras significativas. Ejemplos Por definición el número de metros que hay en un kilómetro es un número exacto: 1000. El número de caras que tiene un dado es un número exacto: 6. Los grados que hay en una circunferencia son un número exacto: 360

Convenio de cifras significativas Recuerda que existe el llamado convenio de las cifras significativas que señala: “Cuando un número se expresa con sus cifras significativas, la última cifra es siempre incierta”

Observa el siguiente video, en éste se explica el concepto de cifras significativas, sus reglas y se presentan algunos ejemplos. https://www.youtube.com/watch?v=Ina-E8NEF6U

Los métodos numéricos arrojan resultados aproximados. Implicaciones Las cifras significativas tienen dos implicaciones en el estudio de los métodos numéricos: 1a. Los métodos numéricos arrojan resultados aproximados. Es necesario desarrollar criterios que especifiquen la confiabilidad de los resultados. Una forma de hacerlo consiste en especificar el número de cifras significativas

Implicaciones 2a. Ciertas cantidades representan valores específicos y no pueden ser expresadas con un número finito de dígitos.   Debido a que las computadoras solamente pueden almacenar un número finito de cifras significativas, estos valores nunca se podrán representar con exactitud. A la omisión de las cifras significativas que no pueden almacenarse se le conoce como error de redondeo.

Exactitud y Precisión

Cuanto menor es el sesgo más exacta es una estimación. Conceptos Precisión Se refiere a la dispersión del conjunto de valores. Es decir, que tan cercanos se encuentran, unos de otros, los valores calculados o medidos. Exactitud Se refiere a que tan cerca se encuentra el valor real del valor medido. Cuanto menor es el sesgo más exacta es una estimación.

En la figura 1 se ilustran gráficamente los conceptos de precisión y exactitud. El centro de la paca representa el valor verdadero, y las marcas de cada tiro son consideradas como las estimaciones obtenidas por alguna técnica numérica. Figura 1. Precisión vs Exactitud

Imprecisión o incertidumbre Inexactitud o sesgo Se define como una desviación del valor verdadero Imprecisión o incertidumbre Se refiere a la magnitud de la dispersión de los disparos.

“Los métodos numéricos deben procurar obtener resultados suficientemente exactos o sin sesgo para cumplir los requisitos de un problema particular de ingeniería y suficientemente precisos para ser adecuados en el diseño de la ingeniería” (Chapra & Canale, 2013)

El término es utilizado para indicar la inexactitud y la imprecisión en las predicciones. error

Resumen La mayoría de los métodos numéricos son sencillos de aplicar, sin embargo, los resultados obtenidos llegan a presentar cierta discrepancia o error provocada por las aproximaciones generadas por las técnicas empleadas. En la vida profesional, los errores son costosos y, algunas veces, ponen en riesgo la vida de las personas.

Resumen Sin embargo, los estudiantes de ingeniería, deben ser conscientes de que necesitan métodos numéricos para resolver los problemas que con frecuencia enfrentan y que, indudablemente generarán errores. Es por ello que, su adecuada comprensión, análisis e interpretación dará confiabilidad a los resultados obtenidos.

Bibliografía Chapra C. Steven, Canale P. Raymond, (2013), “Métodos numéricos para ingenieros”, 6ª. Edición. México. Cheney W, Kincaid D. (2011), “Métodos numéricos y computación”, Cengage Learning, 6ª. Edición. México. Burden, R. “Análisis Numérico”, Thomson, 7ª. Edición, México.

Referencias mesográficas http://www.escritoscientificos.es/trab21a40/cifrassignificativas/00cifras.htm http://itpn.mx/recursosisc/4semestre/metodosnumericos/Unidad%20I.pdf