C R i Q I Z N LOS NUMEROS COMPLEJOS a bi 𝑎+𝑏𝑖 𝑎 𝑏 𝑛 𝑎 −3,−2,−1,0,1,2,3 0,1,2,3,4,5,….

SE RESUELVEN EN ORDEN ESTRICTO LOS NUMEROS COMPLEJOS 1. LAS OPERACIONES SE RESUELVEN EN ORDEN ESTRICTO OPERACIONES SIMBOLO NOMBRE 𝑎 𝑛 Potencias ÷ Divisiones 𝑥 Multiplicaciones + Sumas - Restas 1. 𝑎 𝑛 =𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 2. ÷=𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 3. ×=𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 4. +=𝑆𝑢𝑚𝑎𝑠 5. −=𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠 3 2 +10÷2𝑥3−7𝑥12÷6+4𝑥3−15 5 3 =5𝑥5𝑥5=125 9+10÷2𝑥3−7𝑥12÷6+4𝑥3−15 8 4 =8𝑥8𝑥8𝑥8=4.096 9+5𝑥3−7𝑥2+4𝑥3−15 (−7) 3 = −7 −7 −7 =−343 9+15−14+12−15 −0,5 3 =− 0,5 0,5 0,5 =−0,125 36−29 3 4 4 = 3 4 3 4 3 4 3 4 = 81 256 07

LOS NUMEROS REALES 2. LEY DE LOS SIGNOS APLICADA A LA MULTIPLICACION-DIVISION-POTENCIACION Producto, o división de números Reales de signos iguales, su resultados es POSITIVO. ∀𝑎,𝑏𝜖 𝑅 + →𝑎.𝑏𝜖 𝑅 + ∀𝑎,𝑏𝜖 𝑅 − →𝑎.𝑏𝜖 𝑅 + OPERACION + x = - b. Producto, o división de números Reales de signos contrarios , su resultados es NEGATIVO. ∀𝑎𝜖 𝑅 + 𝑦 𝑏 𝜖𝑅 − →𝑎.𝑏𝜖 𝑅 − − 3 5 − 4 7 =+ 12 35 −12 𝑥 −10 =+120 −0,12 𝑥 −0,8 =+0,096 +18 𝑥 +15 =+270 +0,32 𝑥 +0,07 =+0,0224 + 6 5 + 4 3 =+ 24 15 −23 𝑥 +10 =−230 −0,39 𝑥 +0,48 =−0,1872 + 10 3 − 6 11 =− 60 33 +28 𝑥 −45 =−1260 +0,28 𝑥 −4,5 =−1,872

LOS NUMEROS REALES 2. LEY DE LOS SIGNOS APLICADA A LA MULTIPLICACION-DIVISION-POTENCIACION En un producto, o división de números Reales donde la cantidad de factores negativos es: PAR. El resultado es POSITIVO ∀𝑎,𝑏,𝑐,𝑑𝜖 𝑅 − →𝑎.𝑏.𝑐.𝑑𝜖 𝑅 + c. IMPAR. El resultado es NEGATIVO ∀𝑎,𝑏,𝑐𝜖 𝑅 − →𝑎.𝑏.𝑐𝜖 𝑅 − − 11 5 + 7 22 − 10 14 − 1 3 = 1 6 (−12) 3 = −12 −12 −12 =−1728 (−0.47) 3 = −0.47 −0.47 −0.47 =−0.103823 − 3 4 2 = − 3 4 − 3 4 = 9 16 − 14 15 + 6 21 − 10 3 − 1 3 =− 8 27 − 18 15 3 = − 18 15 − 18 15 − 18 15 =− 5.832 3.375 =− 216 125 − 12 15 ÷ + 21 5 − 6 2 = 4 7

SE RESUELVEN EN ORDEN ESTRICTO LOS NUMEROS REALES 3. LOS SIGNOS DE AGRUPACION SE RESUELVEN EN ORDEN ESTRICTO SIGNOS DE AGRUPACION SIMBOLO NOMBRE −3 Paréntesis +1.5 Corchetes 34 Llaves 1. Paréntesis 1. Resolviendo las operaciones 2. Corchetes 2. Destruyéndolos 3. Llaves 5+ 15−8 - 7− 16+ 31−45 5+ 15−8 - 7− 16+ 31−45 5+7- 7− 16+ −14 5+15−8- 7− 16+31−45 5+7- 7− 16−14 5+15−8- 7−16−31+45 5+7- 7−2 5+15−8−7+16+31−45 5+7-5 67−60 12-5 7 7

LOS NUMEROS REALES 2. Destruyéndolos 1. Precedido del signo mas Los términos conservan el signo 2. Precedido del signo menos Los términos cambian de signo 2(5-9)-3{12-[4+5(5-6)]} 2(8-9)-3{2(5-7)-2[4-3(-5+8)]} 10-18-3{12-[4+25-30]} 16-18-3{10-14-2[4+15-24]} 10-18-3{12-4-25+30} 16-18-3{10-14-8-30+48} 10-18-36+12+75-90 16-18-30+42+24+90-144 99-144 148-192 -45 -44

OPERACIONES EN LOS RACIONALES LOS NUMEROS REALES OPERACIONES EN LOS RACIONALES SIMPLIFICACION DIVIDIR REDUCIR DECIMAL CONVERTIR RACIONAL AMPLIFICAR

OPERACIONES EN LOS RACIONALES LOS NUMEROS REALES OPERACIONES EN LOS RACIONALES SIMPLIFICACION 32 36 = 8 9 50 75 = 2 3 DECIMAL 15 8 =1,875 − 24 32 =−0,75 RACIONAL 0,36= 36 100 = 9 25 2,125= 2125 1000 = 85 40 = 17 8

NO PERIODICOS PERIODICOS EXACTOS Numero finito de cifras decimales LOS NUMEROS REALES OPERACIONES EN LOS RACIONALES. DECIMALES CLASIFICACION DE LOS NUMEROS DECIMALES Numero finito de cifras decimales 2,25 3,32 -28,56 3,125 -12,45 0,325 -0,18 EXACTOS Numero infinito de cifras decimales. -5,6666… Puros. +4,21515..Mixto 12,5888… -1,6454545… 23,6252525… -8,675555.. 38,3757575.. PERIODICOS Números cuya decimal no se repite. 3,14159265.. Pi 2,7182818284 e 12,356281342.. 1,4142.. 3 7 3 7 NO PERIODICOS

SUMA DIVISION POTENCIA PRODUCTO ( 𝑎 𝑏 )÷( 𝑐 𝑑 ) 𝑎 𝑏 + 𝑐 𝑑 LOS NUMEROS REALES OPERACIONES EN LOS RACIONALES OPERACIONES EN LOS RACIONALES SUMA 𝑎 𝑏 + 𝑐 𝑑 𝑎𝑑+𝑏𝑐 𝑏𝑑 PRODUCTO ( 𝑎 𝑏 )( 𝑐 𝑑 ) 𝑎𝑐 𝑏𝑑 DIVISION ( 𝑎 𝑏 )÷( 𝑐 𝑑 ) 𝑎𝑑 𝑏𝑐 POTENCIA ( 𝑎 𝑏 ) 𝑛 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 .. 𝑎 𝑏

LOS NUMEROS REALES 12+35 28 = 47 28 =1,67857142.. 3 7 + 5 4 = 2𝑋3−1𝑋6+5𝑋7 10 = 6−6+35 10 = 41−6 10 = 35 10 =3,5 3 5 − 6 10 + 7 2 = 6𝑋1+4𝑋2−3𝑋3 12 = 6+8−9 12 = 14−9 12 = 5 12 =0,416.. 1 2 + 2 3 − 3 4 =

LOS NUMEROS REALES 15 28 =0,535714285. 3 7 . 5 4 = - 3𝑋6𝑋7 5𝑋10𝑋2 = 126 100 = 63 50 =1,26 3 5 − 6 10 + 7 2 − 1𝑋2𝑋3 2𝑋3𝑋4 =− 6 24 =− 1 4 =−0,25 ( 1 2 )(− 2 3 )(− 3 4 )

LOS NUMEROS REALES 12 35 =0,3428571428571... 3 7 ÷ 5 4 = - 30 30 =−1 3 5 ÷ − 6 10 + 8 9 =+0,888…. (− 2 3 )÷(− 3 4 )

LOS NUMEROS REALES 3 2 − 5 12 = 18−5 12 = 13 12 =1,083…. 3 2 +(− 5 4 ) 1 3 − 18 50 + 21 10 = −18+105 50 = 87 50 =3,74 3 5 − 6 10 + 7 2 3 5 3 10 + 8 15 − 6 12 = 18+32−30 60 = 50−30 60 = 20 60 = 2 6 = 1 3 =0,333... 1 2 . 3 5 + 2 3 . 4 5 − 3 4 . 2 3

LOS NUMEROS REALES 15 8 − 15 4 = 15−30 8 = −15 8 =−1,875 3 2 . 5 4 +(− 5 4 )÷ 1 3 − 18 50 + 35 6 = −54+875 150 = 821 150 =5,4733333…. 3 5 − 6 10 + 7 2 ÷ 3 5 5 4 − 8 15 − 9 8 = 150−64−135 120 = 150−199 120 = − 64 120 =− 8 15 =−0,5333... 1 2 ÷ 2 5 + 2 3 .(− 4 5 )− 3 4 ÷ 2 3

LOS NUMEROS REALES 4 9 5 4 − 3 10 = 20 36 − 3 10 = 100−54 180 = 46 180 = 23 90 =0,2555…. 2 3 2 5 4 +(− 1 2 )÷ 5 3 3 2 − 1 8 + 7 2 ÷ 4 9 =− 3 16 + 63 8 = −3+126 16 = 123 16 =7,6875 3 2 − 1 2 3 + 7 2 ÷ 2 3 2 5 4 ÷ 4 9 + 2 3 ÷ − 4 5 − 3 4 2 3 = 45 16 − 10 12 − 6 12 = 135−100−60 48 = 135−160 48 =− 25 48 =−0,520833.. 1 2 ÷ 2 3 2 + 2 3 ÷(− 4 5 )− 3 4 ( 2 3 )

LOS NUMEROS REALES ∀a,b𝜖𝑅, →(𝑎+𝑏)𝜖𝑅 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES DE LOS NUMEROS REALES PROPIEDADES DE LA SUMA DE LOS NUMEROS REALES CLAUSURATIVA ∀a,b𝜖𝑅, →(𝑎+𝑏)𝜖𝑅 𝐿𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑅𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑅𝑒𝑎𝑙 0.5, −12.8𝜖𝑅 →0.5+ −1,2 =−0,7𝜖𝑅 ASOCIATIVA ∀a,b,c𝜖𝑅, → 𝑎+𝑏 +𝑐=𝑎+(𝑏+𝑐)𝜖𝑅 𝐿𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑅𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑟𝑢𝑝𝑎𝑟 𝑠𝑢𝑠 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜𝑠 13+ 12,5−21 = 13+12,5 −21 MODULATIVA ∀a𝜖𝑅, ∃0𝜖𝑅 𝑇𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒 0+𝑎=𝑎+0=𝑎 𝐸𝑙 𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑜 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑅𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑒𝑠 𝑒𝑙 0 −12.8𝜖𝑅 →0+ −12.8 +0=0+ −12,8 =−12,8𝜖𝑅 INVERTIVA ∀a,𝜖𝑅,∃−𝑎𝜖𝑅 𝑡𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒 𝑎+ −𝑎 = −𝑎 +𝑎=0 𝑇𝑜𝑑𝑜 𝑅𝑒𝑎𝑙 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑠𝑢 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑎 𝑒𝑙 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜 −12.8𝜖𝑅, 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 − −12,5 =+12,5 𝑡𝑎𝑙 𝑞 −12,5 +12,5=0

LOS NUMEROS REALES ∀a,b,c,𝜖𝑅 ∧𝑎=𝑏 →𝑎+𝑐=𝑏+𝑐 5=3+2, →5+ −2 =3+2+(−2) PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES DE LOS NUMEROS REALES PROPIEDADES DE LA SUMA DE LOS NUMEROS REALES UNIFORME ∀a,b,c,𝜖𝑅 ∧𝑎=𝑏 →𝑎+𝑐=𝑏+𝑐 Si a los miembros de una igualdad, se les suma un mismo R, la igualdad no varia 5=3+2, →5+ −2 =3+2+(−2) MONOTONIA ∀a,b,c𝜖𝑅, 𝑎>𝑏→𝑎+𝑐>𝑏+𝑐 Si a los miembros de una desigualdad se les suma un mismo numero R, la desigualdad no cambia. 5>(−12), →5+ −10 >(−12)+(−10) MONOTONIA ∀a,𝑏,𝑐,𝑑𝜖𝑅, 𝑠𝑖 𝑎>𝑏 ∧𝑐>𝑑, →𝑎+𝑐>𝑏+𝑑 Si se suman dos desigualdades de números R del mismo sentido, se conserva la desigualdad. −1>−3 ∧8>7, → −1 +8> −3 +7 INVERTIVA ∀a,𝑏,𝑐,𝑑𝜖𝑅, 𝑠𝑖 𝑎>𝑏 ∧𝑐<𝑑, →𝑎+𝑐><=𝑏+𝑑 Si se suman dos desigualdades de R diferente sentido, puede resultar ><= 15>−13 𝑦 −10<23,→15+ −10 < −13 +23

LOS NUMEROS REALES ∀a,b𝜖𝑅, →(𝑎.𝑏)𝜖𝑅 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES DE LOS NUMEROS REALES PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION DE LOS NUMEROS REALES CLAUSURATIVA ∀a,b𝜖𝑅, →(𝑎.𝑏)𝜖𝑅 𝐸𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑅𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑅𝑒𝑎𝑙 0.5, −12.8𝜖𝑅 →0.5. −1,2 =−0,6𝜖𝑅 ASOCIATIVA ∀a,b,c𝜖𝑅, → 𝑎.𝑏 .𝑐=𝑎.(𝑏.𝑐)𝜖𝑅 El producto 𝑑𝑒 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑅𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑟𝑢𝑝𝑎𝑟 𝑠𝑢𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 13𝑥 12,5𝑥21 = 13x12,5 x21 MODULATIVA ∀a𝜖𝑅, ∃1𝜖𝑅 𝑇𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒 1.𝑎=𝑎.1=𝑎 𝐸𝑙 𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑜 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑅𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑒𝑠 𝑒𝑙 1 −12.8𝜖𝑅 →1𝑥 −12.8 =1𝑥 −12,8 =−12,8𝜖𝑅 INVERTIVA ∀a𝜖𝑅,∃ 1 𝑎 , 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜, 𝑡𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒 1 𝑎 𝑥𝑎=𝑎 1 𝑎 =1 𝑇𝑜𝑑𝑜 𝑅𝑒𝑎𝑙 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑢 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜, 𝑑𝑎 𝑒𝑙 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜 −12.8𝜖𝑅, ∃ 1 −12,5𝑡𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒 −12,5 1 −12,5 =1

LOS NUMEROS REALES ∀a,b,c,𝜖𝑅 ∧𝑎=𝑏 →𝑎.𝑐=𝑏.𝑐 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES DE LOS NUMEROS REALES PROPIEDADES DE LA SUMA DE LOS NUMEROS REALES UNIFORME ∀a,b,c,𝜖𝑅 ∧𝑎=𝑏 →𝑎.𝑐=𝑏.𝑐 Si a los miembros de una igualdad, se multiplican por un mismo R, la igualdad no varia 5=3+2, →5𝑥 −2 = 3+2 𝑥(−2) MONOTONIA ∀a,b,𝜖𝑅, 𝑎>𝑏→𝑎.𝑐>𝑏.𝑐, 𝑠𝑖 𝑐𝜖 𝑅 + Si a los miembros de una desigualdad se multiplican por un mismo numero 𝑅 + , la desigualdad no cambia. 5>(−12), →5𝑥 +10 > −12 𝑥(+10) MONOTONIA ∀a,b,𝜖𝑅, 𝑎>𝑏→𝑎.𝑐>𝑏.𝑐, 𝑠𝑖 𝑐𝜖 𝑅 − Si a los miembros de una desigualdad se multiplican por un mismo numero 𝑅 − , la desigualdad cambia. −1>−3 , → −1 +(−8)< −3 +(−8) INVERTIVA ∀a,𝑏,𝑐,𝑑𝜖𝑅, 𝑠𝑖 𝑎>𝑏 ∧𝑐<𝑑, →𝑎+𝑐><=𝑏+𝑑 Si se multiplican dos desigualdades de R diferente sentido, puede resultar ><= 15>−13 𝑦 −10<23,→15𝑥 −10 > −13 𝑥23

ECUACIONES EN LOS NUMEROS REALES

LOS NUMEROS REALES

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