RADICALES Y LOGARITMOS U.D. 2 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

PORCENTAJES U.D. 2.6 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

PORCENTAJES La proporcionalidad se expresa con un cociente, una fracción a --- = k , siendo k la razón de proporcionalidad o simplemente razón. a’ PORCENTAJE o TANTO POR CIENTO Un porcentaje es una proporcionalidad cuyo denominador es 100. Su símbolo es %. Para comparar dos razones se utilizan los porcentajes. EJEMPLO En Matemáticas han aprobado 2 de cada cinco alumnos. 2 40 --- = ------ = 40 % , que es el porcentaje de aprobados. 5 100 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

TANTO POR UNO TANTO POR UNO En una razón se llama tanto por uno a la expresión decimal que resulta de efectuar la división. a --- = r , siendo r la razón de proporcionalidad o tanto por uno. a’ EJEMPLO_1 En Matemáticas han aprobado 2 de cada cinco alumnos. 2 --- = 0,4 , que es el tanto por uno. 5 EJEMPLO_2 En Física han aprobado 3 de cada ocho alumnos. 3 --- = 0,375 , que es el tanto por uno. 8 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

TANTO POR MIL TANTO POR MIL Cuando el tanto por ciento, %, resulta una cantidad muy pequeña, resulta más adecuado expresarlo en tanto por mil. El tanto por mil es una proporcionalidad cuyo denominador es 1000. Su símbolo es o/oo EJEMPLO En África el virus Ébola mata a 3 de cada 10000 personas. 3 0,3 --------- = -------- = 0,30 o/oo , que es el porcentaje de muertes. 10000 1000 EJEMPLO_2 El número de inmigrantes en Barcelona es de 400 por cada millón de personas. 400 4 0,4 ------------ = ----------- = -------- = 0,4 o/oo , que es el tanto por mil. 1000000 10000 1000 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

PORCENTAJES ENCADENADOS TANTO POR UNO ENCADENADOS La aplicación sucesiva de porcentajes, o tantos por uno, de una cantidad se llama tantos por uno encadenados y es equivalente al PRODUCTO de estos. Ejemplo 1 Al comprar un objeto nos hacen un 20% de descuento, pero al pagarlo nos aplican un 16% de IVA Si nos hacen un 20% de descuento: 100 – 20 = 80  Se paga el 80% del precio. Si nos imponen un 16% de IVA: 100 + 16 = 116  Se paga el 116 % del precio. En total: El 116% del 80% será 1,16 . 0,8 = 0,928 , que es el 92,8 % del precio. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

¿Cuánto pagamos por el ordenador?. Descuento: 100 – 20 = 80 80 EJEMPLO 2 El precio de un ordenador marca 1000 €. Nos hacen un 20 % de descuento. Pero al pedir la factura nos aplican un 16% de IVA. ¿Cuánto pagamos por el ordenador?. Descuento: 100 – 20 = 80 80 80% de 1000 = ----- . 1000 = 800 € hay que pagar. 100 Aumento: 100 + 16 = 116 116 116 % de 800 = -------. 800 = 928 € pagamos finalmente Utilizando porcentajes encadenados, tenemos: 116 % de (80 % de 1000) = 1,16.0,8. 1000 = 0,928.1000 = 928 € Al final pagamos el 92,8 % de su valor, menos de lo señalado. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

125 % de 100.000 = ------ . 100.000 = 125.000 € vale ahora. 100 EJEMPLO 3 Un piso me costó hace pocos años 100.000 €. Su valor ha aumentado un 25%. Pero al venderlo, los gastos me suponen un 20% de su valor. ¿Qué dinero voy a obtener finalmente si le vendo?. Aumento de valor: 100 + 25 = 125 125 125 % de 100.000 = ------ . 100.000 = 125.000 € vale ahora. 100 Gastos de venta: 100 - 20 = 80 80 80 % de 125.000 = -------. 125.000 = 100.000 € obtendría Utilizando porcentajes encadenados, tenemos: 80 % de (125 % de 100.000) = 0,8.1,25.100.000 = 1x100.000 = = 100.000 € Importante: A pesar de que la subida (25%) es mayor en porcentaje que los gastos (20%), los porcentajes se aplican a cantidades diferentes (100.000 € y 125.000 €), por lo cual el balance final es nulo. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Índice de variación En un aumento o disminución porcentual, el número por el que hay que multiplicar la cantidad inicial para obtener la cantidad final se llama índice de variación. Valor final  1,12 Valor inicial ; 1,12 es el índice de variación. Ejemplo: El valor de una vivienda de tipo medio subió un 7,5 % en el último año. ¿Cuál es el índice de variación?. ¿Cuánto costará ahora una vivienda que hace un año su precio era de 120.000 €?. En % costará: 100% +7,5% = 107,5 % En tantos por uno: 1,075 El índice de variación es: iv= 1,075 Valor actual de la vivienda: 120.000 x 1,075 = 129.000 € @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Variaciones porcentuales En un aumento porcentual del r %, el índice de variación es: iv = 1 + r/100 En una disminución porcentual del r %, el índice de variación es: iv =1 –r/100. Ejemplo: Un pendriver, un apartamento y una lavadora valían hace un año 50 €, 100.000 € y 300 € respectivamente. Ahora valen un 30% menos, un 10% más y un 15% menos respectivamente. Hallar los índices de variación y el precio actual. Pentdriver: Índice de variación =1 - r/100 = 1 – 0,30 = 0,70 Apartamento: Índice de variación =1 + r/100 = 1 + 0,10 = 1,10 Lavadora: Índice de variación =1 - r/100 = 1 – 0,15 = 0,85 PVP Pentdriver: 50.0,70 = 35 € PVP Apartamento: 100.000 x 1,10 = 110.000 € PVP Lavadora: 300. 0,85 = 255 € @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Índice de variación global Para encadenar aumentos y disminuciones porcentuales, se calculan los índices de variación correspondientes a los distintos pasos y se multiplican. Se obtiene, así, el índice de variación global, que son porcentajes encadenados en tantos por uno. Ejemplo A finales de 2003 un piso costaba 180.000 €. En el año 2004 su precio aumentó un 12%, en el año 2005 aumentó un 10% y en el año 2006 aumentó un 8,5 %. Hallar el valor del piso a principios de 2007. 2004  Índice de variación: 1 + 0,12 = 1,12 2005  Índice de variación: 1 + 0,10 = 1,10 2006  Índice de variación: 1 + 0,085 = 1,085 Índice global: 1,12 . 1,10 . 1,085 = 1,33672 Precio actual del piso: 180.000 . 1,33672 = 240.609 € @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Cálculo de la cantidad inicial Sabemos que: Cantidad inicial ± r% = Cantidad final Cf = Co ( 1 ± r/100) Cf = Co . Índice de variación Luego: Co = Cf / Iv Ejemplo 1 Un coche nos ha costado 18.000 €. Nos dicen que en este último año ha subido un 5%. ¿Cuánto nos habría costado de haberlo comprado hace un año?. Índice de variación = 1 + r/100 = 1 + 5/100 = 1,05 PVP (2006) = PVP (2007) / iv = 18.000 / 1,05 = 17.123 € @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Cálculo de la cantidad inicial Ejemplo 2 He obtenido 12.000 € al vender una plaza de garaje que compré hace un año. Su precio ha aumentado en un 10%, pero he tenido que pagar a Haciendo un 10% de su valor de venta. ¿Por cuánto dinero compré la plaza de garaje?. Calculamos el índice de variación global (índice de variación encadenado o tantos por uno encadenados): Índice global = (1 + r/100). (1 – r’/100) = = (1 + 10/100).(1 – 10/100) = = 1,1 x 0,9 = 0,99 Po = Pf / Índice de variación encadenado Po = 12.000 / 0,99 = 12.120 € Como se ve he perdido dinero, pues aunque los porcentajes son iguales (10%), el de Hacienda es sobre una cantidad mayor. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.