Apuntes Matemáticas 2º ESO

Presentación del tema: "Apuntes Matemáticas 2º ESO"— Transcripción de la presentación:

1 Apuntes Matemáticas 2º ESO
U.D * 2º ESO FUNCIÓN LINEAL Y AFÍN 800 600 400 200 x @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

2 OBTENCIÓN DE LA FÓRMULA
U.D * 2º ESO OBTENCIÓN DE LA FÓRMULA 800 600 400 200 x @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

3 OBTENCIÓN DE LA FÓRMULA
FUNCIÓN LINEAL Si nos dicen que una función es lineal en un enunciado, que la gráfica de una recta pasa por el origen de coordenadas (0,0), o que el punto (0,0) forma parte de una tabla de valores de proporcionalidad directa: Tomamos un punto cualquiera de la Tabla o del Gráfico: A(x1, y1). m=y1 / x1  y=mx  f(x) = m.x FUNCIÓN AFÍN Si en un enunciado, en la gráfica, o en una tabla de valores, no nos dicen que es una función lineal, pero vemos o deducimos que su gráfica es una línea recta, entonces hallaremos la función afín: Tomamos dos puntos cualesquiera de la Tabla o del Gráfico: A(x1, y1), y B(x2, y2). m= (y2 – y1) / (x2 – x1)  f(x) = m.x + n Tomamos un punto: A, B o cualquier otro conocido de la Gráfica o Tabla. y=mx + n  y1 = m. x1 + n  Y despejamos n de la ecuación resultante. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

4 PASO DE TABLA A EXPRESIÓN
EJEMPLO 1 Una función lineal pasa por el punto A(4,5). Hallar su pendiente y su ecuación. m=y/x  m= 5/4 = 1,25  y=mx  y = 1,25x EJEMPLO 2 Una recta para por el O(0, 0) y por el punto B(-2,3). Hallar su ecuación. Al pasar por el origen es una función lineal. m=y/x  m= 3/(-2) = -1,5  y=mx  y = -1,5x EJEMPLO 3 Al comprar 100 gr de mortadela nos han cobrado 2 €. ¿Es una función lineal?.¿Por qué?. Hallar su pendiente y su ecuación. El precio de cada gramo es el mismo y suponemos no nos cobran el envoltorio, por lo cual deducimos que es una función lineal. Conocemos sólo un punto de la Tabla, el (100, 2), pero es suficiente. m=y/x  m= 2/100 = 0,02  y=mx  y = 0,02x @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

5 OBTENCIÓN DE LA FÓRMULA
Si la gráfica de una función es una línea recta, o la tabla de valores nos dicen que es de una función de proporcionalidad directa, podemos obtener la fórmula con sólo saber dos pares de valores o puntos de la gráfica. Por ejemplo, al aumentar la cantidad de kilos de naranjas que compremos, la x, aumenta el gasto o dinero a pagar, la y. Tomamos los puntos: A(3 , 6) y B (5, 10) Calculamos la pendiente, m: 10 – m= = ---- = 2 5 – La fórmula será: y = m.x y = 2.x y = Gasto (en €) 10 8 6 4 x Cantidad ( en kg ) @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

6 OBTENCIÓN DE LA FÓRMULA
Otro ejemplo, al aumentar la cantidad de bombones que compremos, la x, aumenta el gasto o dinero a pagar, la y. Tomamos los puntos: A(2 , 0’6) y B (4, 1) Calculamos la pendiente, m: 1 – 0’ ’4 m= = = 0’2 4 – La fórmula será: y = m.x  y = 0’2.x Pero al comprobarlo, para x=2, el precio es de 0,4 en lugar de 0’6. Nos han cobrado el envoltorio (0’2 €). y = 0’2.x + 0,2 y = Gasto (en €) 1 0,8 0,6 0,4 x Cantidad ( en kg ) @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

7 OBTENCIÓN DE LA FÓRMULA
Otro ejemplo de función es aplicar frío a un objeto durante unos minutos y medir la temperatura de dicho objeto. Tomamos los puntos: A(3 , - 9) y B (4, -12) Calculamos la pendiente, m: -12 – (-9) m= = = = - 3 4 – La fórmula será: y = m.x y = - 3.x Al ser la pendiente negativa, al aumentar el valor de x disminuye el valor correspondiente de y. y = Temperatura (en ºC) -3 -9 -12 x = Tiempo ( en minutos) @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

8 OBTENCIÓN DE LA FÓRMULA
Un último ejemplo, al aumentar el tiempo de tener abierto un desagüe, disminuye la cantidad de agua que habrá en la bañera. Tomamos los puntos: A(2 , 6) y B (4, 2) Calculamos la pendiente, m: 2 – – 4 m= = = – 2 4 – La fórmula será: y = m.x + n  y = – 2.x + n Tomamos el punto A(2, 6) y sustituímos sus valores: 6 = – n  6 = – 4 + n Despejamos n: = n  n = 10 La fórmula será: y = – 2.x + 10 y = Cantidad de agua (en m3) 10 8 6 4 x = Tiempo ( en minutos) @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

9 OBTENCIÓN DE LA FÓRMULA
Una función afín viene dada por dos puntos: A=(3, 4), B=(5, -2) Obtener su expresión algébrica. Resolución: Como y=mx+n Calculamos el valor de la pendiente: y2 – y – 2 – 4 m = = = - 6 / 2 = - 3 x2 – x – 3 Tomando un punto, el A: = m.3 + n Sustituyo el valor de m: 4= – 3.3+n  4 = – 9 + n   4+9 = n  n = 13 Luego: f(x) = – 3.x + 13 Al ser m negativa la función es decreciente. Tabla de valores x y 3 4 Expresión f (x) = - 3.x + 13 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

10 OBTENCIÓN DE LA FÓRMULA
Nos dan un gráfico de una línea recta nos piden la ecuación de dicha línea o función afín. Resolución: Tomamos dos puntos cualesquiera del gráfico: A=(-2, -6), B=(5, 1) Hallamos el valor de la pendiente: y2 – y – (– 6) m = = = 7 / 7 = 1 x2 – x – ( -2) Como y=mx+n Tomando un punto, el B: 1 = m.5 +n Sustituyendo: = 1.5+n 1 = 5+n  1 – 5 = n  n = – 4 Luego: f(x) = x – 4 Al ser m positiva la función es creciente. 1 -2 5 -6 Expresión f (x) = x – 4 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

11 OBTENCIÓN DE LA FÓRMULA
APLICANDO SISTEMA DE ECUACIONES Una función afín viene dada por dos puntos: A=(4, 3), B=(5, -7) en una gráfica o tabla. Obtener su expresión algébrica. Resolución: Como y=mx+n Tomando el punto A: 3 =m.4 +n Tomando el punto B: -7=m.5+n Sistema por Reducción (restando): 3 – (– 7) = 4m – 5m + n – n 10 = – m  m = –10   n = 3 – 4m  n = 3 – 4.(– 10) = = 43 Luego: f(x) = – 10.x + 43 Al ser m negativa la función es decreciente. Tabla de valores x y 4 3 Expresión f (x) = -10.x + 43 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

12 OBTENCIÓN DE LA FÓRMULA
APLICANDO SISTEMA DE ECUACIONES Nos dan un gráfico de una línea recta nos y piden la ecuación de dicha línea o función afín. Resolución: Tomamos dos puntos cualesquiera del gráfico: A=(2, 7), B=(5, 21) Como y=mx+n Tomando un punto, el A: 7 =m.2 +n Tomando el otro, el B: 21=m.5+n Por Reducción (restando): 21 – 7 = 5m – 2m + n – n 14 = 3m  m = 14 / 3  n = 7 – 2m  n = 7 – 2.14/3 = – 7/3 Luego: f(x) = (14/3).x – 7/3 Al ser m positiva la función es creciente. 21 7 2 5 Expresión f (x) = (14/3).x – 7/3 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO