Teoría de conjuntos, lógica, argumentación y pensamiento Las matemáticas tratan básicamente de los conceptos abstractos de número (aritmética) y forma (geometría) mediante la aplicación de la lógica. Actualmente esos conceptos están muy evolucionados hacia ramas como por ejemplo el calculo diferencial absoluto, las geometrías de Riemann, Lobachevsky, la topología, topología algebraica y diferencial, sistemas dinámicos y muchos más. El pasado siglo la matemática evoluciona más que en el resto de la historia de la humanidad.

Teoría de conjuntos, lógica, argumentación y pensamiento El concepto de número, de forma geométrica y de espacio tienen un origen mental no plenamente comprendido. Platón intento explicarlo con su mundo de ideales. Bertrán Russell intento abstraerlo a partir de la teoría de conjuntos y “fracasó”. El fracaso ha sido “catastrófico” y “hermoso”. Dio origen a la teoría de los números “infinitos” de Cantor o a la teoría de Gödel de la indecibilidad y a una comprensión de los límites de la lógica.

Teoría de conjuntos, lógica, argumentación y pensamiento La teoría de conjuntos se basa en considerar “costales” de cosas que en general tienen una características comunes. Por ejemplo: “El conjunto de alumnos de este salón” o bien “el conjunto de nombres de los alumnos de este salón” o bien “el conjunto de plantas en casa azul”.

Teoría de conjuntos, lógica, argumentación y pensamiento Símbolos de asociación Los integrantes de un conjunto se les llama elementos xЄA Cuando un conjunto A tiene todos los elementos de otro conjunto B se dice que A es un subconjunto de B

Teoría de conjuntos, lógica, argumentación y pensamiento Operaciones entre conjuntos La unión AuB significa un nuevo conjunto que integra los elementos de A y los de B

Teoría de conjuntos, lógica, argumentación y pensamiento b) La intersección A∩B significa un nuevo conjunto que tiene como integrantes elementos que están en A y en B

Teoría de conjuntos, lógica, argumentación y pensamiento c) La diferencia A-B significa un nuevo conjunto que tiene como integrantes los elementos de A que no están en B

Teoría de conjuntos, lógica, argumentación y pensamiento d) El complemento de un conjunto AC Son los elementos que están en el total del “Universo a que nos refiramos” exceptuando a los elementos de A e) Las particiones Es subdividir a un conjunto en varios subconjuntos que al unirlos lo integran otra vez. Existen otras operaciones como el producto cartesiano

Teoría de conjuntos, lógica, argumentación y pensamiento Las operaciones entre conjuntos tienen una equivalencia con el lenguaje cotidiano La unión es equivalente a la conjunción “o” La intersección es equivalente a “y” La diferencia es equivalente a “excepción” o “excluyendo” El complemento es equivalente “al resto de”. La partición es equivalente “dividido en”.

Teoría de conjuntos, lógica, argumentación y pensamiento La matemática actual trata de basarse en la teoría de conjuntos y la lógica. Pues cualquier objeto geométrico es un conjunto de unidades básicas conceptuales. Y también todo numero puede ser visto como un conjunto y las operaciones matemáticas como una conjunción entre reglas lógicas y teoría de conjuntos. Bertrand Rusell sin embargo pretendía que todo el lenguaje se podía llevar a una representación lógica.

Teoría de conjuntos, lógica, argumentación y pensamiento Algunos conceptos de lógica Toda afirmación es cierta o falsa en el contexto. Si a implica b y b implica entonces A=B Si a implica b y b implica c entonces a implica c Si no a implica que no b entonces a implica a (contradicción) Hay muchas otras que se pueden encontrar en libros de lógica

Teoría de conjuntos, lógica, argumentación y pensamiento Pensamientos El mundo mental incluyendo sensaciones, ideas, conceptos, teorías, leyes, expresiones, juicios, prejuicios, moralidad, sentido de la belleza, virtudes, acciones, propensiones, etc. pueden ser vistas como conjuntos. Y la mente humana puede ser vista como un conjunto integrador de los anteriores. Las sociedades y su acción social, moral, económica, jurídica, sentimental, etc. pueden ser vistas como la consecuencia de la unión e intersección de las mentes que lo componen en conjunción con su entorno físico o material e histórico. (y otros)

Teoría de conjuntos, lógica, argumentación y pensamiento Universo ¿Tendremos una forma absoluta de unificar todos los pensamientos? La respuesta es no. El programa de Bertrand Rusell en sus “Principia Matemática ” trataba de hacer equivalente las expresiones del lenguaje al lenguaje de conjuntos y así darle un contenido lógico a cualquier expresión. Logrando un puente de igualdad entre el lenguaje humano y la lógica trataba de establecer un parámetro absoluto para el entendimiento humano y reducir toda acción mental a un ejercicio lógico.

Teoría de conjuntos, lógica, argumentación y pensamiento Dos personas captaron el defecto: Cantor y Gödel. Cantor capto que hay expresiones que no tienen sentido dentro del lenguaje de los conjuntos: “El conjunto de todos los conjuntos” Y por tanto no toda expresión lingüística (y mental por ende) tiene una equivalencia lógica y ni siquiera tiene sentido mental. Gödel por su parte captó que no todo se puede probar como falso o verdadero dentro de un contexto. “Hay al menos un enunciado en teoría de números que no es demostrable” Libro: Escher, Gödel y Bach: Una eterna trenza dorada.

Teoría de conjuntos, lógica, argumentación y pensamiento Lo anterior quiere decir básicamente que el pensamiento humano no puede reducirse del todo a un pensamiento matemático. Paradójicamente son los matemáticos quienes lo hacen ver con claridad el siglo pasado. Hay un punto muy importante de visualizar: Dentro de la mente humana existen pensamientos que no son coherentes dentro del mundo que vivimos (material y platónico). Por ello cuestiones que torturaron a los filósofos medievales no tienen sentido: “Dios es omnipotente” pues el “mundo” no tiene porque corresponder a nuestra estructura mental y menos a la parte lógica

Teoría de conjuntos, lógica, argumentación y pensamiento De alguna manera los matemáticos alemanes lograron la realización de la frase de Hegel: “Si un ángel viniera a revelarnos la verdad posiblemente no entenderíamos su lenguaje” Consecuencias: El mundo mental no puede ser explicado por el materialismo que trata de reducir cualquier proceso mental a materia en movimiento e interacciones. Libro: Mente y materia de Erwin Schrödinger

Teoría de conjuntos, lógica, argumentación y pensamiento Así que siento decirles que su rama de acción es más complicada que la de las matemáticas.

Teoría de conjuntos, lógica, argumentación y pensamiento Si bien parte importante del mundo en que trabajan es abarcado por la lógica matemática

Teoría de conjuntos, lógica, argumentación y pensamiento Nuestro mundo se parece a esto: