Tecnologías de la Información y Comunicación Unidad 1. Teoría axiológica de conjuntos Contenido 1.1. Introducción 1.2. Conjuntos, elementos y subconjuntos.

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1 Tecnologías de la Información y Comunicación Unidad 1. Teoría axiológica de conjuntos Contenido 1.1. Introducción 1.2. Conjuntos, elementos y subconjuntos 1.3. Operaciones con conjuntos 1.4. Diagramas de Venn 1.5. Algebra de conjuntos dualidad 1.6. Conjuntos finitos y principios de conteo 1.7. Clases de conjuntos, conjuntos potencia y particiones 1

2 Tecnologías de la Información y Comunicación Unidad 1. Teoría axiológica de conjuntos Objetivo Entender el concepto de conjunto para aplicarlo en la demostración de otros tipos y clases de conjuntos en función de sus leyes y teoremas. 2

3 Tecnologías de la Información y Comunicación Unidad 1. Teoría axiológica de conjuntos 1.1. Introducción Esta unidad trata del lenguaje de las matemáticas, los temas como conjuntos, funciones, sucesiones y cadenas. Pueden resultar familiares para Ustedes y son conceptos fundamentales que utilizan las ciencias de la Computación y la Ingeniería ¿Qué es un conjunto? Las matemáticas discretas se ocupan de estructuras como gráficas (conjuntos de vértices y aristas) y álgebras boleanas (conjuntos con ciertas operaciones definidas en ellos). Las funciones se aplican en matemáticas discretas para analizar el tiempo necesario para ejecutar algoritmos 3

4 Tecnologías de la Información y Comunicación Unidad 1. Teoría axiológica de conjuntos 1.2. Conjuntos, elementos y subconjuntos En todas las matemáticas el concepto de conjunto es básico. Un conjunto no es mas que una colección no ordenada de objetos o elementos. Se denotan con un nombre y los elementos entre () o entre {} Los objetos son los elementos o miembros de un conjunto El conjunto se determina por los elementos y no por su orden Si por alguna razón se tiene duplicados, solo una ocurrencia de este elemento esta en el conjunto 4

5 Tecnologías de la Información y Comunicación Unidad 1. Teoría axiológica de conjuntos 1.2. Conjuntos, elementos y subconjuntos Si un conjunto es finito, grande o infinito se describe mediante la propiedad necesaria para que sea un miembro Si es finito Si un elemento forma parte de un conjunto se dice Si un elemento no forma parte de un conjunto se dice El conjunto sin elementos se denomina conjunto vacío o nulo 5

6 Tecnologías de la Información y Comunicación Unidad 1. Teoría axiológica de conjuntos 1.2. Conjuntos, elementos y subconjuntos Dos conjuntos son iguales y se escriben X=Y solo si X y Y tienen los mismos elementos. Ejercicio 1: Demostrar que el conjunto A es igual al conjunto B si: 6

7 Tecnologías de la Información y Comunicación Unidad 1. Teoría axiológica de conjuntos Deber 1 7

8 Tecnologías de la Información y Comunicación Unidad 1. Teoría axiológica de conjuntos 1.2. Conjuntos, elementos y subconjuntos 8 Teorema: Sean X, Y, y Z tres conjuntos cualesquiera. Entonces: i. ii. iii.

9 Tecnologías de la Información y Comunicación Unidad 1. Teoría axiológica de conjuntos 1.2. Conjuntos, elementos y subconjuntos Ejercicio 2: Demostrar que X es un subconjunto de Y si Ejercicio 3: Demostrar que X es subconjunto de Y si: 9

10 Tecnologías de la Información y Comunicación Unidad 1. Teoría axiológica de conjuntos 1.2. Conjuntos, elementos y subconjuntos 10

11 Tecnologías de la Información y Comunicación Unidad 1. Teoría axiológica de conjuntos 1.3. Operaciones con conjuntos Si se tienen dos conjuntos X y Y, existen varias operaciones de conjuntos que implican a X y Y que pueden producir un nuevo conjunto Se llama unión de X y Y a todos los elementos que pertenecen a X o a Y (o a ambos). Se llama intersección de X y Y. a todos los elementos que pertenecen a X y Y. 11 Teorema: Para dos conjuntos X, y Y arbitrarios se tiene: i. ii.

12 Tecnologías de la Información y Comunicación Unidad 1. Teoría axiológica de conjuntos 1.3. Operaciones con conjuntos Se llama diferencia (o complemento relativo). X − Y son todos los elementos en X que no están en Y La diferencia simétrica entre los conjuntos X y Y, esta representada por: Los conjuntos X y Y son disjuntos si X ∩ Y = ∅ 12

13 Tecnologías de la Información y Comunicación Unidad 1. Teoría axiológica de conjuntos 1.3. Operaciones con conjuntos 13

14 Tecnologías de la Información y Comunicación Unidad 1. Teoría axiológica de conjuntos 1.3. Operaciones con conjuntos 14

15 Tecnologías de la Información y Comunicación Unidad 1. Teoría axiológica de conjuntos 1.3. Operaciones con conjuntos 15

16 Tecnologías de la Información y Comunicación Unidad 1. Teoría axiológica de conjuntos 1.3. Operaciones con conjuntos Anteriormente se dijo que un conjunto es una colección no ordenada de elementos Sin embargo, algunas veces se desea tomar en cuenta el orden. Un par ordenado de elementos, (a, b), se considera diferente del par ordenado (b, a), claro esta a menos que a=b Si X y Y son conjuntos, sea X × Y el conjunto de todos los pares ordenados (x, y) donde x ∈ X y y ∈ Y. Entonces: X × Y se conoce como producto cartesiano de X y Y. 16

17 Tecnologías de la Información y Comunicación Unidad 1. Teoría axiológica de conjuntos 1.3. Operaciones con conjuntos 17

18 Tecnologías de la Información y Comunicación Unidad 1. Teoría axiológica de conjuntos 1.3. Operaciones con conjuntos 18

19 Tecnologías de la Información y Comunicación Unidad 1. Teoría axiológica de conjuntos 1.4. Diagramas de Venn Proporcionan una vista gráfica de los conjuntos En un diagram de Venn, un rectángulo describe el conjunto universal U Los subconjuntos del conjunto universal se dibujan como círculos El interior de un círculo representa los elementos de ese conjunto 19

20 Tecnologías de la Información y Comunicación Unidad 1. Teoría axiológica de conjuntos 1.4. Diagramas de Venn 20

21 Tecnologías de la Información y Comunicación Unidad 1. Teoría axiológica de conjuntos 1.4. Diagramas de Venn 21

22 Tecnologías de la Información y Comunicación Unidad 1. Teoría axiológica de conjuntos 1.4. Diagramas de Venn Ejercicio 7: En un grupo de 165 estudiantes, 8 toman cálculo, psicología y computación; 33 toman cálculo y computación; 20 toman cálculo y psicología; 24 toman psicología y computación; 79 están en cálculo; 83 están en psicología y 63 toman computación. ¿Cuántos estudiantes no toman ninguna de las tres asignaturas? 22

23 Tecnologías de la Información y Comunicación Unidad 1. Teoría axiológica de conjuntos 1.4. Diagramas de Venn Ejercicio 7: Se dispone de un grupo de 191 estudiantes, de los cuales 10 toman francés, negocios y música; 36 toman francés y negocios; 20 están en francés y música; 18 en negocios y música; 65 en francés; 76 en negocios y 63 toman música ¿Cuántos toman francés y música pero no negocios? ¿Cuántos toman negocios pero no francés ni música? ¿Cuántos toman francés o negocios (o ambos)? ¿Cuántos toman música o francés (o ambos) pero no negocios? ¿Cuántos no toman ninguna de las tres materias? 23

24 Tecnologías de la Información y Comunicación Unidad 1. Teoría axiológica de conjuntos 1.4. Diagramas de Venn Ejercicio 7: Una encuesta sobre televisión de 151 personas encontró que 68 ven “La ley y el desorden”; 61 ven “Ala este”; 52 ven “Los tenores”; 16 ven tanto “La ley y el desorden” como “Ala este”; 25 ven “La ley y el desorden” y “Los tenores”; 19 ven “Ala este” y “Los tenores”; y 26 no ven ninguno de estos programas. ¿Cuántas personas ven los tres programas? 24

25 Tecnologías de la Información y Comunicación Unidad 1. Teoría axiológica de conjuntos 1.4. Diagramas de Venn Ejercicio 7: En una encuesta aplicada a 120 personas se encontró que: 65 leen Newsweek, 20 leen tanto Newsweek como Time, 45 leen Time, 25 leen tanto Newsweek como Fortune, 42 leen Fortune, 15 leen tanto Time como Fortune. 8 leen las tres publicaciones. a) Encuentre el número de personas que leen por lo menos una de las tres publicaciones. b) En cada una de las ocho regiones del diagrama de Venn de la figura 1-9a) se escribe el número correcto de personas, donde N, T y F denotan el conjunto de personas que leen Newsweek, Time y Fortune, respectivamente. c) Encuentre el número de personas que leen exactamente una publicación. 25

26 Tecnologías de la Información y Comunicación Unidad 1. Teoría axiológica de conjuntos Deber 2 26

27 Tecnologías de la Información y Comunicación Unidad 1. Teoría axiológica de conjuntos 1.5. Algebra de conjuntos dualidad Leyes Asociativas Leyes Conmutativas Leyes Distributivas Leyes de Identidad Leyes de Complemento 27

28 Tecnologías de la Información y Comunicación Unidad 1. Teoría axiológica de conjuntos 1.5. Algebra de conjuntos dualidad Leyes de Idempotencia Leyes de Acotación Leyes de Absorción Leyes de Involución Leyes 0 / 1 Leyes de Morgan para conjuntos 28

29 Tecnologías de la Información y Comunicación Unidad 1. Teoría axiológica de conjuntos 1.5. Algebra de conjuntos dualidad 29

30 Tecnologías de la Información y Comunicación Unidad 1. Teoría axiológica de conjuntos 1.5. Algebra de conjuntos dualidad Ejercicio Para los siguientes ejercicios considere: 1. 2. 30

31 Tecnologías de la Información y Comunicación Unidad 1. Teoría axiológica de conjuntos 1.6. Conjuntos finitos y principios de conteo Se dice que un conjunto X es finito si X es vacío o contiene exactamente m elementos, donde m es un entero positivo Lo contrario se considera infinito El conjunto D = días de la semana, es un conjunto finito D tiene 7 elementos El conjunto E = enteros positivos pares, es un conjunto infinito 31

32 Tecnologías de la Información y Comunicación Unidad 1. Teoría axiológica de conjuntos 1.6. Conjuntos finitos y principios de conteo 32

33 Tecnologías de la Información y Comunicación Unidad 1. Teoría axiológica de conjuntos 1.6. Conjuntos finitos y principios de conteo Conteo de elementos en conjuntos finitos. Para los conjuntos arbitrarios X y Y Sea X y Y conjuntos arbitrarios finitos. Entonces Por ejemplo: Suponga que en un curso de Ingeniería A hay 25 estudiantes, de los cuales 10 toman la asignatura de Programación Avanzada. Entonces el número de estudiantes en el curso A que no están en el curso B es: 33

34 Tecnologías de la Información y Comunicación Unidad 1. Teoría axiológica de conjuntos 1.6. Conjuntos finitos y principios de conteo 34

35 Tecnologías de la Información y Comunicación Unidad 1. Teoría axiológica de conjuntos 1.6. Conjuntos finitos y principios de conteo 35

36 Tecnologías de la Información y Comunicación Unidad 1. Teoría axiológica de conjuntos 1.6. Conjuntos finitos y principios de conteo Principio de inclusión – exclusión Ejercicio 8: Suponga que la lista A contiene 30 estudiantes de un curso de matemáticas, y otra lista B contiene 35 estudiantes de un curso de inglés, y en ambas listas hay 20 nombres iguales. Encuentre el número de estudiantes, a) Sólo en la lista A (es decir sólo toman clase de matemáticas) b)Sólo e B (es decir sólo toman clase de inglés) c) En las dos listas d) El total de estudiantes que solo estudian matemáticas y solo estudian inglés 36

37 Tecnologías de la Información y Comunicación Unidad 1. Teoría axiológica de conjuntos 1.6. Conjuntos finitos y principios de conteo Principio de inclusión – exclusión Ejercicio 9: En una encuesta aplicada a 120 personas se encontró que: 65 leen El Comercio 45 leen El Universo 42 leen El Telégrafo 20 leen tanto El Comercio como El Universo 25 leen tanto El Comercio como El Telégrafo 15 leen tanto El Universo como El Telégrafo 8 leen las tres publicaciones a.Encuentre el numero de personas que leen por lo menos una de las tres publicaciones b.En cada una de las 8 regiones de un diagrama de Venn escrina el numero correcto de personas donde C, U, T denotan el conjunto de personas que leen El Comercio, El Universo y El Telégrafo respectivamente c.Encuentre el número de personas que leen exactamente una publicación 37

38 Tecnologías de la Información y Comunicación Unidad 1. Teoría axiológica de conjuntos 1.7. Clases de conjuntos, conjuntos potencia y particiones Clases de conjuntos Frecuentemente es conveniente decir algo de los subconjuntos de un conjunto S. Entonces S seria un conjunto de conjuntos. Se define la unión de una familia arbitraria de conjuntos S, como los elementos x que pertenecen al menos a un conjunto X en S. De manera formal, De igual manera, se define la intersección de una familia arbitraria de conjuntos, S, como los elementos x que pertenecen a todo conjunto X en S. De manera formal, 38

39 Tecnologías de la Información y Comunicación Unidad 1. Teoría axiológica de conjuntos 1.7. Clases de conjuntos, conjuntos potencia y particiones 39

40 Tecnologías de la Información y Comunicación Unidad 1. Teoría axiológica de conjuntos 1.7. Clases de conjuntos, conjuntos potencia y particiones 40

41 Tecnologías de la Información y Comunicación Unidad 1. Teoría axiológica de conjuntos 1.7. Clases de conjuntos, conjuntos potencia y particiones 41

42 Tecnologías de la Información y Comunicación Unidad 1. Teoría axiológica de conjuntos 1.7. Clases de conjuntos, conjuntos potencia y particiones Diagrama de Venn de una partición 42

43 Tecnologías de la Información y Comunicación Unidad 1. Teoría axiológica de conjuntos 1.7. Clases de conjuntos, conjuntos potencia y particiones 43

44 Tecnologías de la Información y Comunicación Unidad 1. Teoría axiológica de conjuntos 44 Quiz Click the Quiz button to edit this object