Apuntes de Matemáticas 1 U.D. 3 * 1º BCT SUCESIONES @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 1

Apuntes de Matemáticas 1 U.D. 3.3 * 1º BCT SUMA DE TÉRMINOS EN P.A. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 1

Apuntes de Matemáticas 1 Suma de términos en P.A. Sea la P.A. an = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 Observar que 1+15 = 3+13 = 5+11 = 7+9 , es siempre 16 En toda P.A. la suma del primero y del último es igual a la suma del segundo con el penúltimo, e igual a la suma del tercero con el antepenúltimo, ... O sea que la suma (a1 + an) se repite n / 2 veces, quedando: (a1 + an) S = (a1 + an) . (n/2) , o lo que igual: S = ‑--------‑‑‑‑ . n 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 1

Apuntes de Matemáticas 1 Ejemplo_0 Hallar la suma de los 100 primeros números pares. La P.A. sería: an = 2, 4, 6, 8, … Donde a1 = 2 , d = 2 y n = 100 Hallamos a100 = 2 + ( 100 – 1).2 = 2 + 198 = 200 Y aplicando la suma S = (a1 + an) . (n/2) , queda: S = (2 + 200) . (100/2) = 202.50 = 10100 Ejemplo_1 Hallar la suma de los 35 primeros múltiplos de 7. La P.A. sería: an = 7, 14, 21, 28, … Donde a1 = 7 , d = 7 y n = 35 Hallamos a35 = a1 + ( 35 – 1).7 = 7 + 34.7 = 7 +238 = 245 S = (7 + 245) . (35/2) = 252.17,5 = 4410 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 1

Apuntes de Matemáticas 1 Ejemplo_2 Los alumnos de una clase se colocan en filas, pero de forma que en la1ª fila hay 1 alumno, en la 2ª fila hay 2 alumnos, en la 3ª fila hay 3 alumnos y así sucesivamente hasta completar 11 filas. ¿Cuántos alumnos hay en esa clase? La sucesión de alumos por cada fila sería: an = 1, 2, 3, 4, …, 11 Sería una PA donde a1 = 1 , d = 1 y n = 11 Hallamos a11 = a1 + ( n – 1).d = 1 + 10.1 = 11 (En este caso sobraría, pero en la mayoría de las circunstancias hay que hallarlo al desconocerse su valor) Y aplicando la suma S = (a1 + an) . (n/2) , queda: S = (1 + 11) . (11/2) = 12.5,5 = 66 En la clase habría 66 alumnos en total. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 1

Apuntes de Matemáticas 1 Ejemplo_3 En una PA el primer término vale 3, la diferencia vale 0,25 y la suma de todos los términos de la progresión vale 1565,50. Hallar el número de términos. Nos dicen que es una PA donde a1 = 3 , d = 0,25 y S = 1565,50 Hallamos el último término: an = a1 + ( n – 1).d = 3 + (n – 1).0,25 Y aplicando la suma S = (a1 + an) . (n/2) , queda: 1565,50 = (3 + 3 + (n – 1).0,25) . (n/2) Operando: 1565,50 = (6 + 0,25.n – 0,25).(n/2) 1565,50 = 3.n + 0,125.n2 – 0,125.n Ordenando queda: 0,125.n2 + 2,875.n – 1565,50 = 0 Multiplicando por 8 queda: n2 + 23.n – 12524 = 0 Resolviendo la ecuación: n = (– 23 ± 225)/2 = 101 y – 124 n = 101 términos La otra posible solución de n no vale al ser negativa. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 1

Apuntes de Matemáticas 1 Problema_1 Un obrero debe trasportar una carretilla de arena desde un gran montón a cada uno de los 30 árboles situados en hilera al borde de un parque. Del montón de arena al primer árbol hay 10 metros y los árboles están separados entre sí por 5 metros. ¿Qué distancia total habrá recorrido desde que inicia el trabajo hasta que retorna al punto de partida tras el último viaje?. PREVIO: Dibujamos el plano de situación. Arena 10 m 5 m 5 m @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 1

Apuntes de Matemáticas 1 RESOLUCIÓN: En el primer viaje recorre: a1 = 10+10 = 20 En el segundo viaje recorre: a2 = 10+5+5+10 = 30 En el tercer viaje recorre: a3 = 10+5+5+5+5+10 = 40 Está claro que es una PA, pues la diferencia es constante. Tenemos a1 = 20, d = 10 , n = 30 Lo que recorre el último viaje será: a30 = a1 + (30 – 1 ).10 = 20 + 29.10 = 20 + 290 = 300 m En total recorrerá: S = (a1 + a30 ) .(30/2) = (20+300).15 = 320 . 15 = 4.800 m En total recorre casi 5 km. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 1

Apuntes de Matemáticas 1 Problema_2 Un jardinero debe transportar arena desde un montículo a un hoyo. Por cansancio en cada uno de los viajes echa una palada menos de arena en la carretilla respecto a los anteriores. Sabiendo que en total ha echado en la carretilla 990 paladas de arena y que en el primer viaje echó 45 paladas, deducir el número de viajes que hizo. Está claro que es una PA donde a1 = 45 , d = – 1 y S = 990 Hallamos el último término: an = a1 + ( n – 1).d = 45 + (n – 1).(– 1) = 46 – n Y aplicando la suma S = (a1 + an) . (n/2) , queda: 990 = (45 + 46 – n) . (n/2) Operando: 990 = (91 – n).(n/2) 1980 = 91.n – n2  n2 – 81.n + 1980 = 0 Resolviendo la ecuación: n = [ 91±√(8281 – 7920)]/2 = [ 91 ± 19 ] / 2 = 55 y 36 La solución de n = 55 no vale, pues los diez últimos viajes iría en vacío y no se cumpliría la ley de la progresión. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 1