Ecuaciones diferenciales No homogéneas Método de coeficientes indeterminados. Por 4n93L
Resolver la siguiente ecuación diferencial: El primer paso para resolver una ecuación no homogénea es resolver la ecuación como si fuera homogénea, esto es que este igualada a 0. Para esto simplemente hay que encontrar los valores de “D”, que esta no es una variable sino un operador equivalente a para los cuales valga 0 la ecuación, algunos autores cambian esta letra por la letra “m”. Despejando……………. Estos valores son reales por lo tanto se sustituyen en la solución Gral..
Si sustituimos ………… Hasta ahora no hemos hecho nada mas que resolver la homogénea a partir de aquí esta el método de coeficientes indeterminados, que los paso son los siguientes: proponer una solución, que se deduce por la forma de la función a la que esta igualada la ecuación diferencial. Derivar n veces la ecuación donde n es el orden de la ecuación diferencial. Sustituir de acuerdo a la ecuación diferencial la derivada que corresponda. De acuerdo a la ecuación resultante formar sistemas de ecuaciones con los coeficientes de la solución. Resolver el sistema de ecuaciones para encontrar los valores de los coeficientes. Sustituir en la solución propuesta y sumarla ala homogénea.
La solucion propuesta depende a lo que este igualada la ecuacion diferencial: Como aquí esta igualada a Cosx por lo tanto la yp o solucion propuesta es : Que sale de la siguiente tabla.
Cabe aclarar que el uso de operadores es para hacer mas sencilla la sustitución en la ecuación para sustituir las derivadas Derivando una vez ……y otra ; ¿Por que? Por que la ecuación es de orden dos
En este caso es conveniente poner todos los términos en ambos lados el seno no se encuentra literalmente pero es como si estuviera multiplicado por 0. Hay que igualar los coeficientes de los términos similares, el seno y el coseno. Por consiguiente :
Y listo ……