El estadístico Chi- cuadrado ING. RAÚL ALVAREZ GUALE, MPC

Estimación de Intervalos y Prueba de Hipótesis para Varianzas Poblaciones ING. RAÚL ALVAREZ GUALE, MPC

Estimación y prueba de hipótesis de dos medias o proporciones poblacionales Análisis del valor de una varianza poblacional o de la relación entre dos varianzas poblacionales

Ejemplos Conocer el volumen promedio que una máquina llena las botellas de soda puede no ser suficiente para el gerente de producción. La variabilidad del contenido puede ser también de alta importancia:  Una alta variabilidad implicará un alto número de botellas con bajo contenido, las cuales producen molestias y reclamos de los clientes; así como un alto número de botellas con exceso de soda, en perjuicio de la empresa.  Se requiere controlar tanto la media como la variabilidad del volumen de llenado de las botellas. Un gerente puede requerir conocer si hay diferencias en la variabilidad de las ventas entre dos áreas geográficas distintas.  Se puede requerir saber si un proceso genera una producción de mayor variabilidad que otro.

Se presentarán métodos que pueden ser usados para efectuar inferencias respecto de una o dos varianzas poblacionales. Se presentarán dos nuevas distribuciones:  Chi-cuadrado  F

Objetivos  Formular y probar hipótesis para una varianza poblacional  Hallar el(los) valor(es) crítico(s) chi-cuadrado(s) de la tabla Chi-cuadrado

Prueba de Hipótesis para Varianzas Prueba de Hipótesis para Varianzas Prueba para Una Varianza Poblacional Prueba para Dos Varianzas Poblacionales Estadístico de prueba Chi-cuadrado Estadístico de prueba F

Caso de una Varianza Poblacional  Los casos que involucran una varianza poblacional emplean uno de dos procedimientos estadísticos:  Prueba de hipótesis  Estimados de intervalos de confianza  El gerente de un banco puede creer que la varianza poblacional del tiempo de servicio al cliente es no mayor a 36 minutos al cuadrado. Se plantea la hipótesis nula que la varianza es mayor o igual a 36 min 2 y, en base a data muestral, se debe estar en capacidad de rechazar o no la hipótesis nula.

Caso de una Varianza Poblacional  Un gerente requiere tomar una muestra de los clientes del restaurante para determinar el número de veces al mes que cenan fuera de casa. Para esto requiere determinar el tamaño de la muestra, lo cual depende de la varianza poblacional. Puede tomar una muestra piloto y construir un intervalo de confianza para la estimación de la varianza poblacional.

 Lo ideal serían pruebas sobre la desviación estándar, sin embargo no se disponen de las mismas, se debe recurrir a pruebas sobre la varianza para a partir de las mismas inferir sobre la desviación estándar.  Interrogantes como ¿σ 2 ≤ 36? Pueden analizarse a través de pruebas de hipótesis con los procedimientos llamados Pruebas Chi- cuadrado.  Cuando una muestra aleatoria proviene de una población distribuida normalmente, la distribución de la varianza muestral estandarizada es una distribución chi- cuadrado.

Distribución Chi-cuadrada  Una variable continua X tiene una distribución chi cuadrada, con v grados de libertad, si su función de densidad es dada por

Teorema

Prueba de Hipótesis para Una Varianza: Estadístico de Prueba Chi-cuadrado El estadístico de prueba chi-cuadrado para una varianza poblacional como se mencionó es: Donde  2 = Variable chi-cuadrada estandarizada n = Tamaño de muestra s 2 = Varianza muestral σ 2 = Varianza (supuesto) El estadístico de prueba estandariza la varianza muestral (similar a los estadísticos z y t de los capítulos anteriores)

Gráfico de la Distribución Chi Cuadrado

Hallando el Valor Crítico  El valor crítico, puede obtenerse de la Tabla Chi- cuadrado No rechazar H 0 Rechazar H 0  22 22 22 H 0 : σ 2 ≤ σ 0 2 H A : σ 2 > σ 0 2 Prueba Unilateral Derecha: 0

Distribución Chi-cuadrado  La distribución chi-cuadrado es una familia de distribuciones, que depende de los grados de libertad:  g.l. = n – 1  Supuesto: La población es normal g.l. = 1g.l. = 5g.l. = 15 22 22 22

Teorema  Si S 2 es la varianza de una muestra aleatoria de tamaño n, se puede escribir:

Prueba de Hipótesis de Una Varianza, Chi-cuadrado 1.Formular las hipótesis en términos de  2 2.Fijar el nivel de significancia 3.Construir la región de rechazo 4.Calcular el estadístico de prueba,   5.Tomar una decisión 6.Interpretar los resultados

Hipótesis concernientes a una varianza Hipótesis alternativa Rechazar la hipótesis nula si:

Ejemplo Una congeladora comercial debe mantener la temperatura seleccionada con poca variación. Las especificaciones indican que la desviación estándar no debe ser mayor a 4 grados (o la varianza a 16 grados 2 ). Una muestra de 16 datos es evaluada y da una varianza muestral de s 2 = 24. Evalúe si la desviación estándar espe- cificada ha sido excedida. Use  = 0.05.

Ejemplo: Solución Usar la tabla Chi-cuadrado para hallar el valor crítico: 22 = H 0 : σ 2 ≤ 16, H A : σ 2 > 16 Hipótesis: Región de rechazo: (  = 0.05 y 16–1=15 g.l.)

Ejemplo: Solución Usar la tabla Chi-cuadrado para hallar el valor crítico: No rechazar H 0 Rechazar H 0  = 0.05 22 22 22 = = (  = 0.05 y 16–1=15 g.l.) Estadístico de prueba: Como = 22.5 < =, no rechazamos H 0 No hay evidencia significativa al nivel  = 0.05 para concluir que la varianza excede a 16 grados 2. H 0 : σ 2 ≤ 16, H A : σ 2 > 16 Decisión: Conclusión: Hipótesis: Región de rechazo: 0 22 22

Prueba de Hipótesis de Una Varianza, Chi-cuadrado: Unilateral y Bilateral H 0 : σ 2 = σ 0 2 H A : σ 2 ≠ σ 0 2 H 0 : σ 2  σ 0 2 H A : σ 2 < σ 0 2  2  /2 No rechazar H 0 Rechazar H 0   2 1-  22 No rechazar H 0 Rechazar H 0  /2  2 1-  /2 22  /2 Rechazar H 0 Prueba Unilateral Izquierda:Prueba Bilateral: (2U)(2U)(2L)(2L) 0 0

Problema Un fabricante de baterías para automóvil garantiza que su producto durará, en promedio 3 años con una desviación estándar de 1 año. Si cinco de estas baterías tienen duraciones de 1.9, 2.4, 3.0, 3.5 y 4.2, ¿ el fabricante continuará convencido de que sus baterías tienen una desviación estándar de 1 año ? Suponga que las duraciones de las baterías tienen una distribución normal.

Solución H 0 : σ 2 = 1 H A : σ 2 ≠ 1  2  /2 No rechazar H 0 Rechazar H 0  /2  2 1-  /2  /2 Rechazar H 0 Prueba Bilateral: (2U)(2U)(2L)(2L) 0

Solución

Solución:

 Con un nivel de significancia del 5%, es necesario determinar el intervalo de control

4 grados de libertad (n-1) 5% nivel de significancia, dos colas

Solución:  Con un nivel de significancia del 5%: No existe evidencia de que la duración de las baterías no sea de un año

Problema 2

Solución: problema 2

Solución Problema 2  Al 10% de nivel de significancia, se rechaza Ho

Hipótesis respecto a varias proporciones

Tabla de varias proporciones Muestra 1 Muestra 2 Muestra k Total Éxitos Fracasos Total

Problema Material A Materi al B Material C Total Desmonorami ento Permanece Intacto Total

Solución:

Material A Material BMateria l C Total Desmonoramiento Permanece Intacto Total

Material AMaterial B Material C Total Desmonoramiento Permanece Intacto Total Material A Materi al B Materia l C Total Desmonoramiento Permanece Intacto Total Forma resumida de Cálculos Tabla Real Tabla Esperada

Problema  Están en desarrollo cuatro métodos para fabricar discos de un material superconductor. Se elaboran cincuenta discos con cada método y se comprueba su superconductividad cuando se enfrían con nitrógeno líquido: Realice una prueba chi cuadrada con un nivel de significancia del 5%. Si hay diferencia significativa entre las proporciones de los superconductores fabricados, grafique los intervalos de confianza. Métod o 1 Métod o 2 Métod o 3 Métod o 4 Total Supercond uctores Fallas Total

Solución Problema 4:

Estimación del Intervalo de Confianza para una Varianza Poblacional

Intervalo de Confianza para σ 2  El intervalo de confianza para σ 2 es:  2  /2  /2  2 1-  /2 22  /2 (2U)(2U)(2L)(2L) Donde  2 L y  2 U pertenecen a la distribución  2 con n -1 grados de libertad

Intervalo de Confianza: Ejemplo  Una muestra de 16 datos de una congeladora da una varianza muestral de s 2 = 24.  Formar un intervalo de confianza al 95% para la varianza poblacional.

Intervalo de Confianza: Ejemplo (Solución)  Usar la tabla chi-cuadrado para hallar  2 L y  2 U : (  = 0.05 y 16 – 1 = 15 g.l.)   /2=0.025   /2=0.025 (2U)(2U) (2L)(2L) Estamos 95% seguros que la varianza poblacional está entre y grados 2. (Tomando la raíz cuadrada, estamos 95% seguros que la desviación estándar poblacional está entre y degrees).

Gracias