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FUNCION CUADRATICA

DE LAS PARABOLAS… Algunos alcances acerca de las parábolas tanto en la naturaleza como en el aspecto geométrico, la arquitectura, o en el diario vivir etc.

FUNCION CUADRATICA a, b y c Definición. Se llama función cuadrática a una función polinómica de variable real, que tiene grado dos. La función cuadrática tiene la forma: El dominio de toda función cuadrática es el conjunto de los números reales, es decir que Df = IR IR a, b y c

Representación gráfica La gráfica de una función cuadrática, representa una parábola cuyo eje es paralelo al eje y. Esta parábola se abre hacia arriba si a> 0, y se dice que es cóncava hacia arriba. Ejemplo: La gráfica que corresponde a f(x) = 2x2 + 3x – 1 es:

Los coeficientes a y c “a” indica la Concavidad (abertura de la parábola), siendo mas angosta en la gráfica cuando “a” es paulatinamente mayor. La concavidad de la parábola es hacia arriba cuando “a” es positivo, y hacia abajo cuando “a” es negativo. “c” indica la intersección de la parábola con el eje Y.

Eje de simetría La curva llamada parábola, que corresponde a la gráfica de una función cuadrática, es simétrica con respecto a una recta que es paralela al eje y, esta recta recibe el nombre de Eje de Simetría y para determinar su valor reemplazamos las variables en la expresión…

Y

Vértice Es el punto más alto o más bajo de la parábola. Si es cóncava hacia arriba (a >0) tendremos un punto mínimo llamado vértice. Si es cóncava hacia abajo (a<0) el vértice será el punto máximo de la gráfica. El vértice es un par ordenado (x,y) en donde x es el eje de simetría, e y se obtiene evaluando la función con el eje de simetría.

● V

● V

Discriminante El estudio de discriminante Δ =b2-4ac cuyos factores son de la Ec.Cuadrática nos señalará que: Si Δ>0 entonces la ec. ax2 +bx + c = 0 tiene dos soluciones reales: la gráfica interseca en dos puntos al eje x. Si Δ=0 entonces la ec. ax2 +bx + c = 0 tiene una única solución real: la gráfica interseca en un punto al eje x. Si Δ<0 entonces la ec. ax2 +bx + c = 0 no tiene soluciones reales: la gráfica no interseca el eje x

Raíces de la función cuadrática Para determinar los puntos de intersección de la función cuadrática (parábola) con el eje X se usa la siguiente fórmula: O También En donde a, b y c son las variables de la función cuadrática.

● ● X2 X1

Estudio de la función Corte con el eje y La función corta el eje y en el punto y = f(0), es decir, la parábola corta el eje y cuando x vale cero (0): lo que resulta: la función corta el eje y en el punto (0, c), siendo c el termino independiente de la función.

Corte con el eje x La función corta al eje x cuando y vale 0, dada la función: tendremos que: las distintas soluciones de esta ecuación de segundo grado, son los casos de corte con el eje x, que se obtienen como es sabido por la expresión:

CORTE EJE Y (X=0) (0,C) ● ● ● X2 X1

Veamos por ejemplo la función:                        a = -1; b= 4 y c = 5 que cortara el eje x cuando:                                          

que tendrá por solución general: que resulta:                          

operando: Los puntos: (-1,0), (5,0) son los de corte con el eje x, como se puede ver en la figura.

Ejemplo: Función cuadrática: y = 2x2 – 5 x + 1

Δ= ¿En dónde corta la curva al eje X? F(0)= ¿Nº de soluciones o cortes en eje X? b2  4 a c = 0  1 intersección ¿En dónde corta la curva al eje X? Corte en eje Y, en (0,1) Δ=

a=2 b= -5 c= 1 reemplazando Apliquemos… Estos son los puntos de intersección de la curva con el eje X

Eje de Simetría: Reemplazando…

Vértice: Valorizamos la función para x= 5/4 F(5/4)= Luego V(5/4,-17/8)

Por lo tanto en la función y = 2x2 – 5 x + 1 Intersecciones a. eje Y: A(0,1) b. eje X: c. Vértice de la parábola: V(5/4,-17/8)

Intenta analizar las siguientes funciones y grafica cada una de ellas. 1. f(x) = x2- 6x + 9 2. f(x) = x2+6x+8 3. f(x) = -x2+2x+8 4. f(x) = 2x2+x-6

¡… ESTOS ALUMNOS SI QUE PIENSAN…! Mientras tanto en el 4º … ¡… ESTOS ALUMNOS SI QUE PIENSAN…!

“Lento pero seguro…” ¿o NO?

Veamos las respuestas… Función1. a) Intersección eje Y: A(0,9) b) Intersección eje X: B(3,0), B(3,0) c) Eje de simetría: x=3 d) Vértice: V(3,0)

GRACIAS POR TU ATENCION Lic. Pérez Melo 2010