INTEGRALES DE LÍNEA

En el curso de cálculo 2 se ha definido a la integral de una función sobre un dominio, la cual se podía calcular utilizando el segundo teorema fundamental del cálculo y en nuestro curso de cálculo 3, hemos estudiado la integral de una función definida sobre una región a la cual hemos llamado integral doble. Ahora surge una interrogante ¿Se podrá definir la integral de una función sobre una curva ?, es decir : y si fuera posible esto ¿Qué necesitamos saber de la curva? ¿Se podrá extender la formulación de una integral sobre una curva a funciones definidas en el espacio?

ALGUNAS APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Trabajo realizado por una fuerza constante Trabajo realizado por una fuerza no constante Figura 1 Figura 2

Segmento de recta Circunferencia: Figura 3 Figura 4 ¿Cuáles son las ecuaciones parametricas de la siguientes curvas ?

Cicloide Astroide: Figura 5 Figura 6

Elipse Figura 7 Figura 8

Hipérbola Figura 9

Cardioide Reloj de arena Figura 10 Figura 11

CALCULAR LAS SIGUIENTES INTEGRALES 1. Evaluar, donde C es la mitad superior del circulo

2. Evaluar la integral, donde C es la curva suave por partes mostrada en la figura 12 Figura 12

3. Evaluar, donde C es la hélice circular dado por las ecuaciones : (ver figura 13 ) Figura 13

4. Calcular la integral sobre la curva dada en la figura 14 Figura 14

5. ¿Cómo se podrá calcular el trabajo efectuado por el campo de una fuerza cuando se mueve una partícula a lo largo de la mitad superior de la circunferencia dada ?

6.¿Cómo se podrá calcular el trabajo realizado por el campo cuando se mueve una partícula sobre una curva, que describe a la cúbica torcida la cual es parametrizada como sigue : ?

LOGRO DE LA SESIÓN Al término de la sesión; el estudiante calcula diferentes Integrales de línea en el plano y el espacio, mediante un empleo correcto de las parametrizaciones, las definiciones y teoremas; argumentando e interpretando sus resultados obtenidos con claridad y coherencia.

DEFINICIÓN 1: INTEGRALES DE LÍNEA Para un campo escalar, la integral sobre una curva C(llamada integral de línea o de trayectoria), donde la curva C es parametrizada como con (ver figura 1) esta definida como sigue : si este limite existe Figura 15

EVALUACIÓN DE LA INTEGRAL DE LÍNEA Teniendo en cuenta que si es continua, entonces el limite en la definición anterior siempre existe y la siguiente formula puede ser usado para evaluar la integral de línea :

DEFINICIÓN 2: INTEGRALES DE LÍNEA EN EL ESPACIO Para un campo escalar, la integral sobre una curva C (llamada integral de línea o de trayectoria), donde la curva C es parametrizada como con (ver figura 16) esta definida como sigue si el limite dado existe : Figura 16

EVALUACIÓN DE LA INTEGRAL DE LÍNEA EN EL ESPACIO Teniendo en cuenta que si es continua, entonces el limite en la definición anterior siempre existe y la siguiente formula puede ser usado para evaluar la integral de línea :

DEFINICIÓN 3. INTEGRAL DE LÍNEA SOBRE UNA UNIÓN DE CURVAS SUAVES. Supongamos ahora que C es una curva suave por partes, es decir, C es una unión de un numero finito de curvas suaves como se ilustra en la figura 17. Tengamos en cuenta para este caso que el punto inicial de es el punto final de. Entonces se define la integral de a lo largo de C como una suma de integrales de a lo largo de cada una de las curvas suaves de C : Nota. Se cumple de manera similar para Figura 17

INTEGRALES DE LÍNEA EN FORMA DE DIFERENCIAL También llamadas la integral de línea de con respecto a y. Estas integrales frecuentemente se describen en la forma siguiente : Es frecuente que las integrales de línea con respecto a y aparezcan juntas. Cuando esto sucede se acostumbra a describirlo en la manera siguiente Nota. También se puede generalizar para el caso de 3 variables

INTEGRAL DE LÍNEA DE UN CAMPO VECTORIAL Suponga que una región en el plano o en el espacio está ocupada por un fluido en movimiento, como aire o agua. Imagine que ese fluido está formado por un número muy grande de partículas y que en cualquier instante las partículas llevan una velocidad. Si tomamos una foto de las velocidades de algunas partículas en diferentes posiciones en un mismo instante, es de esperar que estas velocidades varíen de una posición a otra. Podemos pensar que el vector de velocidad esta pegado a cada uno de los puntos del fluido. Tal flujo es un ejemplo de un campo vectorial. Por ejemplo la figura 18 muestra un campo vectorial de velocidad, obtenido al asociar un vector de velocidad a cada punto del aire que fluye a través de una hélice dentro de un túnel de viento

Otro ejemplo de un campo vectorial de vectores velocidad es el estudio del desplazamiento del agua que se mueve en un canal como se muestra en la figura 19. Figura 19. líneas de flujo dentro de un túnel que se contrae. La velocidad del agua aumenta cuando el canal se hace angosto y los vectores de velocidad aumentan de longitud. Figura 18. Vectores velocidad de un flujo alrededor de un ala en un túnel de aire. Las líneas de flujo pueden ser vistas gracias al humo de queroseno.

En general, un campo vectorial en un dominio en el plano o en el espacio es una función que asocia con un vector a cada punto del dominio. Un campo de vectores tridimensional podría tener una formula como sigue : El campo es continuo si las funciones componentes M, N, P son continuas, es diferenciable si M,N y P son diferenciables. Una campo de vectores bidimensionales pueden tener una formula como

EJEMPLOS ADICIONALES Figura 20. Los vectores en un campo gravitacional apuntan hacia el centro de masa que es fuente del campo. Figura 21. Los vectores velocidad v(t) del movimiento de un proyectil definen Un campo vectorial a lo largo de la trayectoria. Figura 22. El campo de vectores gradientes en una superficie Figura 23. El flujo de un fluido en un tubo cilíndrico largo. Los vectores v=(a 2 -r 2 )k dentro del cilindro con base en el plano XY y puntas en el paraboloide z=a 2 -r 2.

INTEGRAL DE LÍNEA DE UN CAMPO VECTORIAL Sea F un campo vectorial continuo sobre una curva suave C, descrita por una función vectorial r(t),. Entonces la integral de línea de F a lo largo de C es : Figura 17 En este ejemplo se muestra como el campo de fuerza trata de impedir el desplazamiento de una particular a lo largo de la curva

APLICACIÓN: TRABAJO REALIZADO POR UN CAMPO DE FUERZA Suponga que el campo vectorial representa una fuerza a través de una región en el espacio(Puede ser la fuerza de gravedad o una fuerza electromagnética), y también que la curva este parametrizada como sigue : Entonces la integral de es el trabajo realizado por F en la dirección del vector unitario T tangente a la curva desde a hasta b, es decir Figura 18

PROPIEDAD Si parametriza C en una dirección con vector tangente T y parametriza C en sentido contrario, con vector tangente –T, entonces denotamos la segunda curva como –C y admitimos como valido que :

FORMAS DISTINTAS PARA ESCRIBIR EL TRABAJO Nota. Esta formas de describir al trabajo mediante la integral de línea también se pueden utilizar para campos de 2 variables, es decir F=N(x,y)i+M(x,y)j.

EJEMPLO. 1. Sea. Calcule si C es la curva de ecuación, donde tal y como se muestra en la figura 18 Figura 18

2.Sea, y sea C la curva de la figura 19. calcular Figura 19

EJERCICIOS A RESOLVER Resolver los ejercicios propuestos en las diapositivas 8, 9,10 11, 12,13

BIBLIOGRAFÍABIBLIOGRAFÍA 1. Larson-Hostetler “Cálculo “ LARS 2.Stewart, James. “Cálculo multivariable” 515 STEW/M Thomas, George. “Cálculo : Varias variables”