PROF: JAIME QUISPE CASAS I.E.P.Nº 2874 Ex 451 2013 SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS PROF: JAIME QUISPE CASAS I.E.P.Nº 2874 Ex 451 2013

SEMEJANZA DE TRIÁGULOS () Definición.- Dos triángulos se llaman semejantes cuando tienen sus ángulos respectivamente congruentes y los lados homólogos proporcionales. Se denominan lados homólogos a los lados que se oponen a ángulos congruentes

 SEMEJANZA DE TRIÁGULOS Si se cumple que  A   D  B   E    C A B    F D E  Si se cumple que  A   D  B   E Entonces ABC  DEF  C   F Los lados AB y DE se llaman lados homólogos por oponerse a ángulos congruentes que mide 

  ABC  DEF SEMEJANZA DE TRIÁGULOS Casos de semejanzas: PRIMER CASO: Si tienen dos pares de ángulos congruentes.   F D E   C A B   A   D  ABC  DEF  C   F

  ABC  DEF SEMEJANZA DE TRIÁGULOS SEGUNDO CASO: Si tienen un par de lados congruentes y los lados que los forman, respectivamente proporcionales.  C A B F D E    B   E  ABC  DEF

  ABC  DEF SEMEJANZA DE TRIÁGULOS TERCER CASO: Si tienen los tres pares de lados respectivamente proporcionales.. C A B F D E   ABC  DEF

PROBLEMAS RESUELTOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS. 1.- En el triangulo ABC se traza una recta paralela al lado AC que interseca al lado AB en M y al lado BC en N. si MN = 3a, AC = 5a, BM = x + 2, MA = x – 2 ; calcular “x”· Resolución  MBN  ABC C A B x + 2  M  N  3a x - 2  5a  m N = m C =  Por ser ángulos correspondientes 6x = 5x + 10 x = 10

PROBLEMAS RESUELTOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS. 2) En el  ABC AB = 24, mA = 45º por un punto F del lado BC se traza FE  al lado AC. Hallar FE, si BF = 3FC A C B Resolución  45º 3a Trazamos FE  AC 24 F    a Trazamos la altura BH 45º  H E m HBC = m EFC =  Por ser ángulos correspondientes   CEF  CHB

PROBLEMAS RESUELTOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS. 3) Se tiene un  ABC y una paralela PQ al lado AC. Hallar BQ y QC. Si PQ = 5m; AC = 16m; BC = 24m Resolución  ABC   PBQ C A B P Q       A = P =  C = Q =  Por ser ángulos correspondientes

PROBLEMAS RESUELTOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS. 4) En un triangulo rectángulo ABC se traza PQ paralelo a BC , hallar QC. Si PQ = 7m, BC = 15m;AC = 32m Resolución  ABC   APQ C A B P 15 7     x Q 32 - x 32 Trazamos PQ // BC C = Q =  B = P = 90º Por ser ángulos correspondientes

PROBLEMAS RESUELTOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS. 5) Los lados de un triangulo rectángulo ABC miden AB = 5m; BC= 12m; AC= 13m, la mediatriz relativa a la hipotenusa corta al cateto BC en N, hallar el segmento MN (M esta en AC) Resolución A C B  ABC   NMC N 12  x    M 6,5 13 Trazamos la mediatriz NM Mediatriz Es el segmento PERPENDICULAR al lado de un triángulo por su punto medio

PROBLEMAS RESUELTOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS. 6)Las bases de un trapecio miden 27 y 36m, y su altura 14m. Calcular la altura del triangulo formado por la prolongación de los lados no paralelos con la base menor x  B C 14 + x Q 14  A D H 36  APD   BPC

PROBLEMAS RESUELTOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS. 7)La base y la altura relativa de un triangulo miden 20 y 5m metros respectivamente. Calcular la longitud del cuadrado inscrito uno de sus lados esta sobre la base G  5-x  5 Q  R x   F L P S 20  FGL   QGR

PROBLEMAS RESUELTOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS. 8)Sea el triángulo ABC,AB=10m;AC=18m; BC= 12m; EAC; FAB; EA= 6m; FE= 5m; EM // AB; M BC; BF = 1. Hallar EM B A C E F M  1 12  9 x  6 12  ABC   EMC

PROBLEMAS RESUELTOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS. 9)Sea el triángulo ABC,AB=10m;AC=18m; BC= 12m; EAC; FAB; EA= 6m; FE= 5m; EM // AB; M BC; BF = 1. Hallar EM F Q R L P S  5-x 5     FGL   QGR x

3) Calcular: “x”. Si AP = 8 y SC = 1. PROBLEMAS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS. . 1) Calcular: “x”  x 12 3   10 C A B Q P 1 3 3) Calcular: “x”. Si AP = 8 y SC = 1. P C A B Q R x S

PROBLEMAS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS. 4) Calcular: “x” x k 3k 12 5) Calcular: “x”    x 10 5 8 6) En un triángulo ABC se trazan las alturas y de tal manera que: BH = 4, AH = 8 y BC = 10. Calcular BQ.

7) Calcular: “x” 9) Calcular BD PROBLEMAS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.  x 5 4 8) En la figura hallar: EC. Si: AB = 3, DE = 2 y AE = 4 D A  B E C 9) Calcular BD A   B E C D 8 6 3