Números imaginarios y complejos PPTCEG023EM31-A16V1 EM-31 Números imaginarios y complejos

Resumen de la clase anterior Recordemos … ¿A qué corresponde el logaritmo de un número? ¿Qué se puede hacer cuando en el argumento de un logaritmo hay una división? ¿Por qué el logaritmo de la base es uno?

Aprendizajes esperados • Comprender que los números complejos permiten resolver problemas sin solución en los números reales. • Identificar la unidad imaginaria a partir de la raíz cuadrada de – 1. • Reconocer la relación entre los números complejos, los números imaginarios y los reales. • Reconocer geométricamente el plano complejo y la ubicación de números complejos. • Aplicar procedimientos de cálculo de adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones de números complejos, formulando conjeturas y demostrando algunas propiedades.

Pregunta oficial PSU Sea el número complejo p = a + bi, con a y b números reales distintos de cero. ¿Cuál de las siguientes igualdades es siempre verdadera? A) = a2 + b2 B) p·(1 + 0i) = a C) p–1 = D) p – = 0 E) p· = p2 Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo Proceso de admisión 2016. Si a y b son números reales, ¿qué es i? ¿Qué son los números complejos?

1. Números imaginarios 2. Números complejos

1. Números Imaginarios 1.1 Unidad imaginaria Existen ciertos problemas que no tienen solución en los números reales. Por ejemplo, no es posible encontrar un número real que al elevarlo al cuadrado resulte – 1. Para resolver este tipo de problemas fue necesario definir la unidad imaginaria, que corresponde a y se designa por la letra i. Potencias de i: i1 = i i2 = – 1 i3 = – i i4 = 1 En el exponente de i, cada cuatro números se repite el resultado para la potencia. Por lo cual, si el exponente es mayor que 4, se divide por 4 y se utiliza solo el resto como exponente. Un número imaginario puede describirse como el producto entre un número real b (distinto de cero) y la unidad imaginaria i.

Más información en la página 24 de tu libro. 1. Números Imaginarios 1.2 Ejemplo Sea in = r · i, con n un número en el conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6} y r un número real. Se puede determinar el valor numérico de n, si se sabe que: (1) n es un número primo. (2) r es un número negativo A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional ALTERNATIVA CORRECTA B Más información en la página 24 de tu libro. ¡AHORA TÚ! (5 minutos) Ejercicios 3 y 6 de tu guía.

2. Números Complejos 2.1 Definición Un número complejo es de la forma a + bi, con a y b números reales e i la unidad imaginaria. También se representa mediante el par ordenado (a, b). Todo número complejo a + bi = (a, b) puede representarse gráficamente como un punto en el plano complejo (similar al plano cartesiano), donde el eje horizontal corresponde al eje real (Re) y el eje vertical corresponde al eje imaginario (Im). Si z = a + bi es un número complejo, entonces se define: La parte real de z Re(z) = a La parte imaginaria de z Im(z) = b El inverso aditivo de z – z = – a – bi El inverso multiplicativo de z z–1 = El conjugado de z = a – bi El módulo de z

2. Números Complejos 2.2 Operatoria Sean z1 = a + bi y z2 = c + di números complejos. Entonces: k · z1 = k · (a + bi) = k · a + k · bi (con k un número real) z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i z1 – z2 = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i z1 · z2 = (a + bi)·(c + di) = (a·c – b·d) + (a·d + b·c)i

Más información en las páginas 25 y 26 de tu libro. 2. Números Complejos 2.3 Ejemplo Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo Proceso de admisión 2016. Si k es un número real, ¿para qué valor de k la parte real e imaginaria del número complejo son iguales? A) – 3 B) 1 C) 2 D) – 1 E) 3 ALTERNATIVA CORRECTA A Más información en las páginas 25 y 26 de tu libro. ¡AHORA TÚ! (5 minutos) Ejercicios 15 y 20 de tu guía.

Pregunta oficial PSU Sea el número complejo p = a + bi, con a y b números reales distintos de cero. ¿Cuál de las siguientes igualdades es siempre verdadera? A) = a2 + b2 B) p·(1 + 0i) = a C) p–1 = D) p – = 0 E) p· = p2 Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo Proceso de admisión 2016. ALTERNATIVA CORRECTA C

Síntesis de la clase Recordemos… ¿Qué son los números complejos? ¿Cuándo una potencia del número i es igual a 1? ¿Cómo se calcula el módulo de un número complejo?

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Tabla de corrección Nº Clave Unidad temática Habilidad 1 E Números complejos ASE 2 D 3 B Comprensión 4 C Aplicación 5 6 A 7 8 9 10 11 12

Tabla de corrección Nº Clave Unidad temática Habilidad 13 D Números complejos Aplicación 14 B 15 Comprensión 16 17 A 18 ASE 19 20 21 C 22 23 24 25

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