Un nuevo conjunto….. Los números complejos

Presentación del tema: "Un nuevo conjunto….. Los números complejos"— Transcripción de la presentación:

1 Un nuevo conjunto….. Los números complejos
Unidad Nº 1: Un nuevo conjunto….. Los números complejos

2 Objetivos de Aprendizaje
Comprender que los números complejos constituyen un conjunto numérico en el que es posible resolver problemas que no tienen solución en los números reales, y reconocer su relación con los números naturales, números enteros, números racionales y números reales. Aplicar procedimientos de cálculo de adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones de números complejos, formular conjeturas acerca de esos cálculos y demostrar algunas de sus propiedades. Formular conjeturas, verificar para casos particulares y demostrar proposiciones utilizando conceptos, propiedades o relaciones de los diversos temas tratados en el nivel, y utilizar heurísticas para resolver problemas combinando, modificando o generalizando estrategias conocidas, fomentando la actitud reflexiva y crítica en la resolución de problemas. Interesarse por conocer la realidad y utilizar el conocimiento. Comprender y valorar la perseverancia, el rigor y el cumplimiento, la flexibilidad y la originalidad.

3 Objetivos: Definir el conjunto de los números complejos.
Simplificar potencias de i. Difinir y usar las operaciones con números complejos.

4 Resuelve las siguientes ecuaciones
𝑥 2 −100=0 𝑥 2 −8=0 𝑥 2 +1=0 𝑥 2 +9=0

5 Esquema de los conjuntos numéricos

6 Definición Un número de la forma a + bi donde a y b son números reales, se conoce como un número complejo . La a se conoce como la parte real y la b se conoce como la parte imaginaria del número complejo.

7 Definición Al conjunto de números
se le conoce como el conjunto de números complejos.

8 Ejemplos de números complejos:

9 Calcule las siguientes raíces.
Raíces pares de números negativos Calcule las siguientes raíces.

10

11 Definición Dos números complejos son iguales si las partes reales son iguales y las partes imaginarias también son iguales . Si a + bi = c + di entonces a = c y b = d.

12 Ejemplo: Determine el valor de a y de b si

13 Número Imaginario. −𝑖 𝑠𝑖 𝑛:4 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 3
Llamamos unidad imaginaria a 𝑖 que es igual a −1 Cualquier número de la forma −𝑏 = 𝑏 𝑖, con 𝑏>0, se llama número imaginario. se pueden operar los números imaginarios como si fueran términos algebraicos. Para calcular cualquier potencia de 𝑖, con exponente natural, se tiene la siguiente regla: 1 𝑠𝑖 𝑛:4 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 0 𝑖 𝑠𝑖 𝑛:4 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 1 −1 𝑠𝑖 𝑛:4 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 2 −𝑖 𝑠𝑖 𝑛:4 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 3 𝒊 𝒏

14 Cálculo de potencias de 𝑖

15 Procedimiento para simplificar potencias de i 1
Procedimiento para simplificar potencias de i Divida el exponente por 4 y el resultado será i elevado al residuo de la división. 2. Para simplificar use; a. b. c. d.

16 Simplifica las potencias de i

17

18 Cálculo potencias de 𝑖

19 Resumiendo: Potencias de 𝑖
1 𝑠𝑖 𝑛:4 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 0 𝑖 𝑠𝑖 𝑛:4 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 1 −1 𝑠𝑖 𝑛:4 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 2 −𝑖 𝑠𝑖 𝑛:4 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 3 𝒊 𝒏

20 Ejemplos:

21 Definiciones de las Operaciones con Números Complejos

22 La resta se cambia a la suma del opuesto del sustraendo.

23

24 Aclaración: La multiplicación se puede llevar a cabo como si fuera una multiplicación de polinomios.

25

26

27

28

29 La división se hace multiplicando por el conjugado
del denominador.

30

31

32

33 Ejercicios: Lleva a cabo la operación indicada.

34

35

36

37

38

39 Representación gráfica
Para representar un número complejo o de la forma a + bi, se utiliza un sistema de coordenadas rectangulares, en el cual la parte real se representa en el eje horizontal y la imaginaria en el eje vertical.

40 Ejemplos:

41

42 Valor Absoluto |a + bi| = √(a² + b²)
Es la distancia entre el origen y el punto que representa al número complejo. El valor absoluto o módulo de un número complejo a + bi está definido como: |a + bi| = √(a² + b²) Ejemplo: |-4+2i| = √(-4)²+(2)² = √20 = 2√5

43 Números Complejos Comprender que los números complejos constituyen un conjunto numérico en el que es posible resolver problemas que no tienen solución en los números reales, y reconocer su relación con los números naturales, números enteros, números racionales y números reales.

44 Cálculo Mental ¿Qué es un número imaginario?
¿Cómo obtenemos el valor de 𝑖 249 ? ¿Cómo se operan los números imaginarios?

45 Números complejos Los números complejos son aquellos que tienen una parte real y una imaginaria. Son de la forma 𝑍=𝑎+𝑏𝑖 Donde a y b pueden ser números positivos, negativos y aún nulos.

46 Clases de números complejos
Complejo real: es aquel cuya parte imaginaria es nula. Complejo puro: es aquel cuya parte real es nula. Complejo nulo: es aquel cuya parte real y cuya parte imaginarias son nulas. Complejos iguales: son dos complejos, que tienen iguales sus partes reales e iguales sus partes imaginarias.

47 Representación de números complejos
Forma gráfica: el complejo representa a un vector que parte del origen del sistema coordenado. Sus ejes son el eje real(Re) y el eje imaginario (Im).