Integrales curvilíneas

Integrales curvilíneas de Campos escalares Sesión 12.1 Campos vectoriales Integrales curvilíneas de Campos escalares

Contenidos Habilidades Campos escalares y vectoriales. Función potencial y campos conservativos. Integral curvilínea de un campo escalar. Masa y centro de masa de una cuerda.

Habilidades Define el concepto de campo vectorial conservativo. Halla una función potencial para un campo vectorial dado. Determina si un campo vectorial es conservativo o no en una región dada del plano. Determina si un campo vectorial es conservativo o no en una región dada del espacio. Calcula e interpreta integrales de línea de un campo escalar. Calcula la masa y determina el centro de masa de una cuerda.

Función potencial y campos conservativos Si F es el gradiente de f, diremos que f es una función potencial de F y que F es un campo conservativo. Teorema: Si F es un campo vectorial cuyas componentes poseen segundas derivadas parciales continuas, entonces una condición necesaria y suficiente para que F sea conservativo es que rot(F) = 0

La condición anterior, se particulariza para campos en el plano tomando F(x, y, z) = P(x, y)i + Q(x, y)j + 0 k y se obtiene: Teorema: Si F(x, y) = P(x, y)i + Q(x, y)j es un campo vectorial en el plano, cuyas componentes poseen segundas derivadas parciales continuas, entonces una condición necesaria y suficiente para que F sea conservativo es que Como parte de la demostración, se obtiene el método para determinar la función potencial f a partir del gradiente.

Ejemplo 1 Determine si el campo vectorial F(x, y) = (2x – 3y)i + (2y – 3x)j es conservativo. Si lo es, halle una función potencial. Ejemplo 2 Determine si el campo vectorial es conservativo. Si lo es, halle una función potencial.

Bibliografía James Stewart “Cálculo de varias variables” conceptos y contextos 4e James Stewart 1. Campos escalares y vectoriales Sección 13.1. Página 911 Problemas 2,11,23 y 25 2. Gradiente y función potencial Sección 13.3. Página 932. Problemas 10, 16 y 18 (sin evaluar la integral) 3. Rotacional y divergencia Sección 13.5 - Pág. 947. Problemas : 5,13 y 18.

Integral curvilínea de campos escalares. Curvas regulares: Una función vectorial de una variable r(t) se llama suave o regular o uniforme en un intervalo I si r´(t) es continua y no nula en I. Una curva C se llama suave si posee una parametrización r(t) suave.

Integral curvilínea de un campo escalar: si el límite existe independientemente de la manera en que se elijan los puntos

D es una región del plano. C es una curva suave en D. es continua. x y C D Teorema 1. Suponga que: D es una región del plano. C es una curva suave en D. es continua. es una parametrización de C. Luego, 11

Masa y centro de masa de un alambre. La interpretación física que se le pueda dar a la integral de línea dependerá del significado físico que tenga la función f. Si la función δ(x,y) representa la densidad lineal de un punto ( x, y) de un alambre muy delgado en forma de la curva C se obtiene el valor de la masa del alambre:

Ejemplo Evalúe si C: x = t 2; y = 2t 0  t  1 Ejemplo Un alambre delgado tiene la forma de la parte de la circunferencia del primer cuadrante con centro en el origen y radio a. Si la función de densidad es , encuentre la masa y el centro de masa del alambre.

Ejemplo Evalúe si está formada por el arco de la parábola de (0;0) a (1;1) seguido por el segmento vertical de recta de (1;1) a (1;2).

Bibliografía James Stewart “Cálculo de varias variables” conceptos y contextos 4e James Stewart Integral de línea de campos escalares Sección 13.2 - Página 922: 2, 4, 6,9 12, 33,34,35